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1、1,2 线性变换的运算,3 线性变换的矩阵,4 特征值与特征向量,1 线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8 若当标准形简介,9 最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章 线性变换,5 对角矩阵,一、特征值与特征向量,二、特征值与特征向量的求法,7.4 特征值与特征向量,三、特征子空间,四、特征多项式的有关性质,2,从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当,的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是,一个对角矩阵?,引入,有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性,希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.,变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，,3,设是数域P上线性空间V的一个
2、线性变换，,则称为 的一个特征值，称为的属于特征值,一、特征值与特征向量,定义：,若对于P中的一个数存在一个V的非零向量,使得,的特征向量.,4,几何意义：特征向量经线性变换后方向保持,由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，,注：,若 是 的属于特征值的特征向量，则,也是 的属于的特征向量.,但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即,若且，则,5,设 是V的一组基，,线性变换在这组基下的矩阵为A.,下的坐标记为,二、特征值与特征向量的求法,分析：,设是的特征值，它的一个特征向量在基,则 在基下的坐标为,6,而 的坐标是,于是,又,从而,又,即 是线性方程组 的解，,有非零解.,所以它的系数
3、行列式,7,以上分析说明：,若是的特征值，则,反之，若满足,则齐次线性方程组有非零解.,若是一个非零解，,特征向量.,则向量就是的属于的一个,8,设 是一个文字，矩阵称为,称为A的特征多项式.,1.特征多项式的定义,A的特征矩阵，它的行列式,（是数域P上的一个n次多项式）,9,矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：,若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵，,而是的一个特征值，则是特征多项式,的根，即,的一个特征值.,反之，若是A的特征多项式的根，则就是,（所以，特征值也称特征根.）,而相应的线性方程组 的非零解也就,称为A的属于这个特征值的特征向量.,10,i)在V中任取一组基 写出
4、 在这组基下,就是的全部特征值.,ii)求A的特征多项式 在P上的全部根它们,2.求特征值与特征向量的一般步骤,的矩阵A.,iii)把所求得的特征值逐个代入方程组,的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.),并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值,11,则,就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.,而,（其中，不全为零）,就是的属于 的全部特征向量.,如果特征值 对应方程组的基础解系为：,12,对皆有,所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.,例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下,的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是,故数乘法变换K的特征值只有数k，且,1
5、3,解：A的特征多项式,例2.设线性变换在基 下的矩阵是,求特征值与特征向量.,故的特征值为：（二重）,14,把 代入齐次方程组 得,即,它的一个基础解系为：,因此，属于 的两个线性无关的特征向量为,而属于 的全部特征向量为,不全为零,15,因此，属于5的一个线性无关的特征向量为,把 代入齐次方程组 得,解得它的一个基础解系为：,而属于5的全部特征向量为,16,三、特征子空间,定义：,再添上零向量所成的集合，即,设 为n维线性空间V的线性变换，为,的一个特征值，令 为的属于的全部特征向量,17,注：,的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的,若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则,即特
6、征子空间 的维数等于齐次线性方程组,(*),全部线性无关的特征向量就是 的一组基.,18,四、特征多项式的有关性质,1.设 则A的特征多项式,由多项式根与系数的关系还可得,A的全体特征值的积,称之为A的迹,记作trA.,19,证:设 则存在可逆矩阵X，使得,2.(定理6)相似矩阵具有相同的特征多项式.,于是，,20,注：,有相同特征多项式的矩阵未必相似.,成是矩阵A的特征值与特征向量.,它们的特征多项式都是，但A、B不相似.,多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说,因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征,由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.,如,21,设 为A的特征多项式,则
7、,证:设 是 的伴随矩阵，则,3.哈密尔顿凯莱（HamiltonCaylay）定理,都是的多项式，且其次数不超过n1.,又的元素是的各个代数余子式，它们,因此，可写成,22,其中，都是 的数字矩阵.,再设,比较、两式，得,23,以依次右乘的第一式、第二式、,、第n式、第n1式，得,24,把的n1个式子加起来，即得,4.设为有限维线性空间V的线性变换，是,的特征多项式，则,25,例3.设求,解：A的特征多项式,用去除得,26,27,练习1：已知为A的一个特征值，则,（1）必有一个特征值为;,（2）必有一个特征值为;,（3）A可逆时，必有一个特征值为;,（4）A可逆时，必有一个特征值为.,（5）则 必有一个特征值为.,28,行列式.,练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、1、2，,则矩阵的特征值为：，,29,
