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1、概率论与数理统计总 复 习,第一章 事件的概率,2.概率的定义：,3.概率的性质：,4.两个概念(对立)：,非负性；规范性；可列可加性。,A与B独立,P(AB)=P(A)P(B),A与B互不相容,P(AB)=0,P(AB)=P(A)+P(B),AB=,1.古典概率乘法原理、排列组合；几何概率均匀分布,P(A)0时,P(B/A)=P(B),5.两个公式,P(Ai/B)后验概率,P(Ai)先验概率,P(B/Ai),例1 设甲、乙、丙三人的命中率分别为0.3，0.2，0.1。现三人独立地向目标各射击一次，结果有两次命中目标，试求丙没有命中目标的概率。,记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，D 为目标
2、被命中两次.,解,=0.092,法一 用条件概率直接求解。,P(B),法二 用Bayes公式：,0.1,0.9,0.3*0.2,0.3*0.8+0.7*0.2,P(C)=0.1,P(D/C)=0.3*0.8+0.7*0.2,于是有,例2 填空(可作图帮助分析),(1)设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则=_,(2)若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则minP(A)，P(B)=_。,0,0.6,(3)已知P(A)=0.3，P(B)=0.5。则当A与B相互独立时，有P(AB)=_；当A与B不相容时，有P(B-A)=_；当P(A/B)=0.4时，有,0.65,0.5,0.4,第二、三章
3、 随机变量及其分布,1.常用分布,B(n,p)，P()，Ua,b，E()，N(,2)；,2.联合分布和边缘分布,4.随机变量函数的分布,公式法：,分布函数法(C.R.V.)：,（注意分段）,独立时，Min(X1,X2,Xn)和 Max(X1,X2,Xn)的分布。,3.概率的计算,(一维或二维C.R.V.：一重或二重积分),作图、定限再计算、验证,独立时,二维均匀、二维正态,5 随机变量的独立性,正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性),若Xi N(i，i 2),i=1,2,.n,相互独立，则对任何实数a1,a2,an,有,例3 已知X f(x)，求Y=-X2的概率密度。,解 用分布函数法。,
4、y0 时，,y0 时，FY(y)=P(Yy)=1,于是Y的概率密度为,FY(y)=P(Yy)=P(-X2 y),例4 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：,解,求随机变量Z=X+Y 的密度函数fZ(z)。,法一(分布函数法)：,法二(公式法)：,注意到被积函数的非零区域G为：,x=z,x=z-1,1,2,G,第四章 数字特征小结(定义、含义、计算和性质),1.计算（附表一：六大分布）,2.性质,E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X),E(ii Xi)=i i E(Xi),(3)D(1X2Y)=12D(X)+22D(Y)212Cov(X,Y),(4)独立必不相关，反之
5、则不一定。,E(X),E(Y),E(XY)E(X2),E(Y2),例5 设C.R.V.(X,Y)在三角形区域G:0 x 1,0y 1-x上服从均匀分布，求Cov(X,Y)和XY.,解,同理 E(X2)=1/6,E(XY)=1/12.从而DX=E(X2)-(EX)2=1/18,由对称性有 E(Y)=E(X)=1/3,DY=DX=1/18.于是,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/12-(1/3)2=-1/36,例6 设U(0,2),X=cos,Y=cos(+a),其中0a 2为常数，试求XY 并由此讨论X 与Y之间的关系。,解,于是,当 a=0，XY=1，,当a=/2 或 3/2
6、 时，因 XY=0，故X 和Y不相关。,例7 求,例8 设(X,Y)N(1,2,12,22,),可以推出哪些结论？(分布特点、边缘分布、数字特征、独立与不相关等),当a=，XY=-1，,两种情况下X和Y都呈线性关系。,这时Y=-X。,这时Y=X；,但却有X2+Y2=1，表明X 和Y不独立。,解,D(X+Y)DX DY 2Cov（X，Y）,D(X-Y)DX+DY-2Cov（X，Y）,例9 设随机变量X，Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D(0+1X+2Y)，D(X+Y)，D(X-Y),D(0+1X+2Y)=D(1X+2Y)12DX 22DY 212 Cov（X，Y）,例10 设随机变
7、量X1，X2,，Xn相互独立，且期望和方差分别为,20,的相关系数。,解,第5章：1.契比雪夫不等式 2.中心极限定理:正态极限分布:,例11 试用三种方法计算抛100次均匀硬币出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率。,解 设出现正面的次数为X，则X B(100,1/2),第6、7章：抽样分布,正态总体的抽样分布；矩估计、极大似然估计；无偏性；区间估计(单正态总体，双侧)。,1 直接计算；,3 用中心极限定理。,2 用契比雪夫不等式；,例 12 判断均匀分布Ua,b)参数极大似然矩估计的无偏性。,解 对XUa,b)，参数极大似然矩估计量为,二者的分布函数为,二者的密度函数为,显然都不是无偏估计。,解,则总体XB(1,p)，其中p为废品率。,1）矩法,2）极大似然法,3）无偏性,例13 从一批产品中任取n件，发现有m件废品，试求这批产品废品率p的矩法和极大似然估计。并判断这两种估计量的无偏性。,民意调查建模？估计原理？,Exer1.设X1,X2,X2n为来自正态总体的样本,？,Exer2.设X1,X2,X2n为来自正态总体N(,2)的样本,已知，求2的极大似然估计并判断无偏性。,Exer3.推导正态总体参数的双侧置信区间。,注：因,故,显然无偏性成立，因,或,解,
