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1、正余弦定理专题复习,1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即=2R（R为ABC外接圆半径）,2.正弦定理的应用:从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；,2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:,复习,(1)若A90，又可有下表：,A,C,a,b,absinA,无解,A,C,a,b,a=bsinA,一解,A,C,a,b,bsinA a b,两解,B,B1,B2,B,A,C,b,a,一解,a,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,ab,无解,a=b,无
2、解,ab,一解,(2)若A90，又可有下形式：,2余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。,1余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,即,例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C.,解：0.725，A44,0.8071，C36,B180(AC)100.,(sinC 0.5954,C 36或144(舍).),举例,例2 在ABC中，已知a2.730，b3.696，C8228，解这个三角形.,解：由，得 c4.297.,0.7767
3、，A392,B180(AC)5830.,(sinA 0.6299 A=39或141(舍).)，,例 3 ABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(2，8)、C(4，1)，求角A.,解法一：|AB|BC|AC|,A84.,解法二：(8，3)，(2，4).,cosA=,A84.,1.在ABC中，b CosA=a cosB，则三角形为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形,C,解法一：利用余弦定理将角化为边.bcosAacosB,b2c2a2a2c2b2,a2b2,ab，故此三角形是等腰三角形.,解法二：利用正弦定理将边转化为角.bcosAacosB又b2sinB，a2sinA，
4、2sinBcosA2sinAcosB,sinAcosBcosAsinB0sin（AB）00A，B，AB，AB0 即AB,故此三角形是等腰三角形.,返回,练习,2.在ABC中，若a2b2+c2，则ABC为；若a2=b2+c2，则ABC为；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，则ABC为。,3.在ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为。,4.在ABC中，BC=3，AB=2，且，A=。,直角三角形,等腰三角形,锐角三角形,钝角三角形,120,5.在ABC中，已知sinBsinCcos2，试判断此三角形的类型.,解：sinBsinCcos2,sinBsinC,2sinBsinC
5、1cos180（BC）将cos（BC）cosBcosCsinBsinC 代入上式得cosBcosCsinBsinC1,cos（BC）1,又0B，C，BCBC0 BC故此三角形是等腰三角形.,余弦定理及其应用,小结,作 业：,1.在ABC中，A=60,a=4,b=4,求角B.,3.在ABC中，若 求AB.,4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，求三角形的面积.,5.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，求边BC上的中线AD的长.,6.在ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定ABC的形状。,7.ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的 对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状,
