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1、第十四章 空间插值,2014-4-22,地理学中可能遇到的问题：了解天津市空气质量宏观分布天津市空气质量监测点了解我国某个地区的气候状况气象站分布温度降水某观测站因意外存在缺测、漏测解决问题的难点：到研究区每个点进行观测是非常困难的时间、人力或财力都不允许。,空间插值导言,GIS不仅对实际可视的地面对象进行计算，还可以对实际上无法显示，但是可以用数值表示并可视化，称为统计面。构建统计面实际上和地形分析方法类似，只是要求输入的数据为点数据样本。由于点数据无法形成一个面，因此需要对点与点之间的空白区域进行估计，以构成一个完整的面，这个构成，成为空间插值。,如何生成表面？如何才能获得尽可能精确的表面
2、？如何评价和比较分析的结果？,空间插值要解决的问题,一、空间插值的概念,空间插值：用已知点的数值来估算其他点的数值的过程。内插:在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程；外推:在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程。预测 通过已知的空间数据，找到一个函数关系式，使关系式最好得逼近这些已知的空间数据，并能够根据该函数关系式，推求出区域范围内其他任意点或多边形分区范围的值。,空间插值的结果是形成栅格，因此空间插值也可以理解为将点状矢量数据转化为栅格数据的过程。也是将点数据转换为面数据的一种方法。,将空间上离散点的测量数据转换为连续的曲面数据，即填补样本点之间的数据空白，以便与其它空间现象的分
3、布进行建模研究。,一、空间插值的概念,已知数据,函数关系式,未知数据,从存在的观测数据中找到一个函数关系式,使该关系式最好的逼近这些已知的空间数据，并能根据函数关系式推求出区域范围内其它任意点的值。,距离衰减效应空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的观察值；而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。Tobler(1970)”地理学第一定律”描述了这样的性质：所有的事物或现象在空间上都是有联系的，但相距近的事物或现象之间的联系一般较相距远的事物或现象间的联系要紧密。,二、空间插值的理论假设,缺值估计 如何在没有测点的地区得到我们需要的数据？测点自然或人为的原因，缺少某天或某个时间段的数据。内插等
4、值线形象直观的显示空间数据分布平面制图数据格网化以不规则点图元组织的Z变量的数据，并不适合于图形显示，也不适于进行分析。多数空间分析要求将Z值转换成一个规则间距空间格网，或者转换成不规则三角形网。规则格网数据更好的显示空间数据连续分布,三、空间插值意义,一、控制点控制点是已知数值的点。已知点、样本点、观测点。控制点的数量和分布极大地影响空间插值的精度。,14.1空间插值的要素,二、空间插值的类型整体插值和局部插值；精确插值和近似插值。确定性插值和地统计插值；,14.1空间插值的要素,整体插值：用研究区所有采样点数据进行全区特征拟合。在整个区域用一个数学函数表达地形曲面，采用全部控制点计算未知点
5、数据。整个区域的数据都会影响单个插值点，单个数据点变量值的增加、减少或者删除，都对整个区域有影响。典型例子是：全局趋势面分析、回归模型、Fourier Series（周期序列）,1、整体插值和局部插值,局部内插法只使用邻近的数据点（样本控制点）来估计未知点的值，步骤如下：定义一个邻域或搜索范围；搜索落在此邻域范围的数据点；选择能表达这有限个点空间变化的数学函数；为未知的数据点赋值。将复杂的地形地貌分解成一系列的局部单元，在这些局部单元内部地形曲面具有单一的结构，由于范围的缩小和曲面形态的简化，用简单曲面即可描述地形曲面。局部内插方法：泰森多边形（Voronoi边形、边界内插）样条函数插值法反距
6、离权重内插Kriging插值（空间自由协方差最佳内插）密度估算单个数据点的改变只影响其周围有限的数据点。,局部内插法,整体插值方法将小尺度的、局部的变化看作随机和非结构性噪声，从而丢失了这一部分信息。局部插值方法恰好能弥补整体插值方法的缺陷。整体插值方法通常不直接用于空间插值，而是用来检测总趋势和不同于总趋势的最大偏离部分，即剩余部分，在去除了宏观趋势后，可用剩余残差来进行局部插值。,整体插值注意的问题,精确插值：产生通过所有观测点的曲面。在精确插值中，插值点落在观测点上，内插值等于估计值。近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测点。当数据存在不确定性时，应该使用近似插值，由于估计值替代了已知变
7、量值，近似插值可以平滑采样误差。,2、精确插值和非精确（近似）插值,确定性方法基于未知点周围点的值和特定的数学公式，来直接产生平滑的曲面；,3、确定性方法和地统计（随机性）方法,基于自相关性(测量点的统计关系)，根据测量数据的统计特征产生曲面；由于建立在统计学的基础上，因此不仅可以产生预测曲面，而且可以产生误差和不确定性曲面，用来评估预测结果的好坏多种 kriging 方法,地统计学插值,内插方法（模型）的选择；空间数据的探索性分析，包括对数据的均值、方差、协方差、独立性和变异函数的估计等；进行内插；内插结果评价；重新选择内插方法，直到合理；内插生成最后结果。,三、一般插值过程,精确性：参数的
8、敏感性：许多的插值方法都涉及到一个或多个参数，如距离反比法中距离的阶数等。有些方法对参数的选择相当敏感，而有些方法对变量值敏感。后者对不同的数据集会有截然不同的插值结果。希望找到对参数的波动相对稳定，其值不过多地依赖变量值的插值方法。耗时：一般情况下，计算时间不是很重要，除非特别费时。存储要求：同耗时一样，存储要求不是决定性的。特别是在计算机的主频日益提高，内存和硬盘越来越大的情况下，二者都不需特别看重。可视化、可操作性（插值软件选择）：三维的透视图等。,四、插值方法选择的原则,（1）交叉验证 交叉验证法（crossvalidation），首先假定每一测点的要素值未知，而采用周围样点的值来估算
9、，然后计算所有样点实际观测值与内插值的误差，以此来评判估值方法的优劣。各种插值方法得到的插值结果与样本点数据比较。（2）“实际”验证 将部分已知变量值的样本点作为“训练数据集”，用于插值计算；另一部分样点“验证数据集”，该部分站点不参加插值计算。然后利用“训练数据集”样点进行内插，插值结果与“训练数据集”验证样点的观测值对比，比较插值的效果。,五、插值验证,采样点的空间位置对空间插值的结果影响很大。理想情况是研究区内均匀布点：但当区域景观存在有规律的空间分布模式时，用完全规则的采样网络可能会得到片面的结果；完全随机的采样：采样点的分布位置是不相关的，完全随机采样可能会导致采样点的分布不均，一些
10、点的数据密集，另一些点的数据缺少。规则采样和随机采样的结合方法是成层随机采样，即划分为规则格网，每个格网中的样本数固定，但单个点随机地分布于规则格网内。,六、空间插值的数据采样,采样方法图示,趋势面模型回归模型,14.2整体拟合法,通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反应地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果；而后者则对应于微观区域，被认为是随机因素影响的结果。趋势面分析的一个基本要求就是，所选择的趋势面模型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精确度才能达到足够的准确性。趋势面分析是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分
11、布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。在数学上，拟合数学曲面要注意两个问题：一是数学曲面类型（数学表达式）的确定，二是拟合精度的确定。,16.2.1趋势面分析,1、趋势面模型的建立,设某地理要素的实际观测数据为zi（xi,yi）（i=1,2,n），趋势值拟合值为，则有用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数，其中最常用的是多项式函数。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。,式中，为剩余值（残差值）,趋势面分析的核心就是从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归分析方法，使得残差平方和最小从而估计趋势面参
12、数。假设二维空间中有n个观测点（xl,yl）（l=1,2,n），观测值为zl（l=1,2,n）则空间分布z的趋势面可表示为N次多项式,2、趋势面模型的参数估计,根据最小二乘法，可得,利用克莱姆法则可以求出各个参数ai,趋势面模型,是一种多项式回归分析模型，用多项式表示线或面，按最小二乘法原理对数据点进行拟合。A、当数据为一维时，1）线性回归:,2）二次或高次多项式：,趋势面分析,B、数据是二维的二元二次或高次多项式,多项式回归,多项式分析多项式趋势面随着N值的不同，其形态也不同。一般地讲，N值越大，拟合精度越高。拟合精度C以下式表示，通常C为6070时，该多项式就能够揭示空间趋势。,趋势面拟合
13、适度的R2检验,3、趋势面模型的适度检验,R2越大，趋势面的拟合度就越高。,3、趋势面模型的适度检验,趋势面拟合适度的显著性F检验,检验的办法是在显著性水平下，查F分布表得Fa。若计算的F值大于临界值Fa，则认为趋势面方程显著；否则，不显著。p为多项式项数（不包括常数项），,4、趋势面分析应用实例,上表为某流域1月份降水量与各观测点的坐标位置数据,1）建立趋势面模型 运用上述介绍的趋势面分析原理，首先采用二次多项式进行趋势面拟合，用最小二乘法求得拟合方程为 z=5.998+17.438x+29.787y-3.558x2+0.375xy-8.070y2(R2=0.839,F=6.236)再采用三
14、次趋势面进行拟合，用最小二乘法求得拟合方程为 z=-48.810+37.557x+130.130y+8.389x2-33.166xy-62.740y2-4.133x3+6.138x2y+2.566xy2+9.785y3(R2=0.965,F=6.054),4、趋势面分析应用实例（续）,2）模型检验（1）趋势面拟合适度的R2检验。结果表明，二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型的显著性都较高，而且三次趋势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。（2）趋势面适度的显著性F检验。在置信水平a0.05下，查F分布表得F2aF0.05(5,6)4.53,F3aF0.05(9,2)19.4。显然，F2 F2a，
15、而F3 F3a，故二次趋势面的回归方程显著而三次趋势面不显著。因此，F检验的结果表明，用二次趋势面进行拟合比较合理。,4、趋势面分析应用实例（续）,优点产生平滑的曲面；结果点很少通过原始数据点，只是对整个研究曲产生最佳拟合面；缺点高次多项式在数据区外围产生异常高值或低值,优点和缺点,建立因变量与自变量的联系自变量的选择：非空间属性、空间属性求解方法与趋势面类似例子：流域雪水量模型，山区降水量估算模型,14.2.2回归模型,整体内插函数保凸性较差，采样点的增减或移动都需要对多项式的系数作全面调整，从而采样点之间会出现难以控制的振荡现象，致使函数极不稳定，从而导致保凸性较差。多项式物理意义不明显解
16、算速度慢且对计算机容量要求高不能提供内插区域的局部地形特征。由于以上缺点，在空间内插中整体内插并不常用,整体内插缺点,整个区域上函数的唯一性、能得到全局光滑连续的空间曲面、充分反映宏观地形特征等。在空间内插中，一般是与局部内插方法配合使用，例如在使用局部内插方法之前，利用整体内插去掉不符合总体趋势的宏观地物特征。整体内插函数常常用来揭示整个区域内的地形宏观起伏态势。,整体内插优点,示例：三阶趋势面等值线地图,泰森多边形密度估算反距离权重内插薄板样条函数,14.3局部拟合法,边界内插,使用边界内插法时，首先要假定任何重要的变化都发生在区域的边界上，边界内的变化则是均匀的、同质的。边界内插的方法之
17、一是泰森多边形法。泰森多边形法的基本原理是，未知点的最佳值由最邻近的观测值产生。,泰森（Thiessen）多边形最初用于估算区域降水量的平均值。荷兰气候学家AHThiessen提出了一种根据离散分布的气象站的降雨量来计算平均降雨量的方法，即将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，于是每个气象站周围的若干垂直平分线便围成一个多边形。用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。围绕已知样本点构建多边形，使得在多边形内的任意点与多边形内的已知点更接近，而不是与其他已知点接近。,泰森多边形,点连成三角形连线中点作垂线生成
18、泰森多边形计算求得每个点的邻近范围的多边形。总降雨量=点（上观察到的降雨密度）*Thiesssen多边形面积,泰森多边形（Thiessen，又叫Dirichlet 或Voronoi多边形）采用了一种极端的边界内插方法，只用最近的单个点进行区域插值。泰森多边形按数据点位置将区域分割成子区域，每个子区域包含一个数据点，各子区域到其内数据点的距离小于任何到其它数据点的距离，并用其内数据点进行赋值。连接所有数据点的连线形成Delaunay三角形，与不规则三角网TIN具有相同的拓扑结构。GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速的赋值，实际上泰森多边形的一个隐含的假设是任何地点的气象数据均使用距它最近
19、的气象站的数据。而实际上，除非是有足够多的气象站，否则这个假设是不恰当的，因为降水、气压、温度等现象是连续变化的，用泰森多边形插值方法得到的结果图变化只发生在边界上，在边界内都是均质的和无变化的。,泰森多边形的特性是：1、每个泰森多边形内仅含有一个离散点数据；2、泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近；3、位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等。泰森多边形可用于定性分析、统计分析、邻近分析等。例如，可以用离散点的性质来描述泰森多边形区域的性质；可用离散点的数据来计算泰森多边形区域的数据；判断一个离散点与其它哪些离散点相邻时，可根据泰森多边形直接得出，且若泰森多边形是n边形，则就与n个
20、离散点相邻；当某一数据点落入某一泰森多边形中时，它与相应的离散点最邻近，无需计算距离。,建立泰森多边形算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。建立泰森多边形的步骤为：1、离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。2、找出与每个离散点相邻的所有三角形的编号，并记录下来。这只要在已构建的三角网中找出具有一个相同顶点的所有三角形即可。,泰森多边形的建立步骤,3、对与每个离散点相邻的三角形按顺时针或逆时针方向排序，以便下一步连接生成泰森多边形。排序的方法可如图5-6-6所示。设离散点为o。找出以
21、o为顶点的一个三角形，设为A；取三角形A除o以外的另一顶点，设为a，则另一个顶点也可找出，即为f；则下一个三角形必然是以of为边的，即为三角形F；三角形F的另一顶点为e，则下一三角形是以oe为边的；如此重复进行，直到回到oa边。4、计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。5、根据每个离散点的相邻三角形，连接这些相邻三角形的外接圆圆心，即得到泰森多边形。对于三角网边缘的泰森多边形，可作垂直平分线与图廓相交，与图廓一起构成泰森多边形。,1、凸包生成；2、环切边界法凸包三角剖分；3、离散点内插。,Delaulay三角形的构建,为了获得最佳三角形，在构三角网时，应尽可能使三角形的三内角均成锐角，即符合D
22、elaunay三角形产生的准则：1、任何一个Delaunay三角形的外接圆内不能包含任何其它离散点。2、相邻两个Delaunay三角形构成凸四边形，在交换凸四边形的对角线之后，六个内角的最小者不再增大。该性质即为最小角最大准则。,凸包生成,环切边界法凸包三角剖分,离散点内插,Delaunay三角形是Voronoi图的偶图Delaunay三角形是由与相邻Voronoi多边形共享一条边的相关点连接而成的三角形。Delaunay三角形的外接圆圆心是与三角形相关的Voronoi多边形的一个顶点。,Delaunay三角形,生成Thiessen 多边形的过程,在ArcView中，先生成TIN，再由TIN生
23、成Thiessen Polygon在ArcGIS中，直接用Arctools，可生成Thiessen Polygon实例：人口调查点计算人口调查区,泰森多边形的应用,密度估算：用已知点的样本来量测栅格中的像元密度。密度估算分成简单密度估算和核密度估算两种方法。简单密度估算步骤：将格网置于点分布图上；将落在每个单元的点值相加；将单元点值总和除以单元大小，既得每个单元的密度。,密度估算（density estimation）Kernel/line/point,是一种统计方法，利用已知的数据点进行估计。方法是在每一个数据点处设置一个核函数，利用该核函数（概率密度函数）来表示数据在这一点邻域内的分布。对
24、于整个区域内的所有要计算密度的点，其数值可以看做是其邻域内的已知点处的核函数对该点的贡献之和。因此，对于任一点X，邻域内的已知点xi对它的贡献率取决于x到xi的距离，也取决于核函数的形状以及核函数的取值范围（称为带宽）设核函数为K，其带宽为h，则x点处的密度估计为：,核密度估算,核函数,对核函数K的选择通常是一个对称的单峰值在0处的光滑函数，其中，高斯函数使用最为普遍，同时也可以是其他各种函数作为核函数高斯正态函数三角函数 1二次函数 3/4（1-2）1四次函数 15/16（1-2）2 1上述的核密度函数中，带宽的选择是关键，它决定了生成的密度图形的光滑性。带宽选择的小，则生成的图形比较尖锐；
25、带宽选择的大，生成的图形则比较平缓，会掩盖密度的结构。所以，带宽的选择需要经过多次试验研究才能最终确定。,核密度估算,ArcGIS中的核密度估算,反距离插值方法最早由 Shepard 提出(Richard Franke,1982)提出的，并逐步得到发展。是一种局部方法，假设未知值的点受较近控制点的影响比较远控制点的影响更大。每个采样对插值结果的影响随距离增加而减弱，因此距目标点近的样点赋予的权重较大。,反距离法(Inverse Distance),权重系数wj的计算是关键问题，不同类型距离反比法的差别就是权重系数的计算公式不同，因而最后的插值结果也有细微的差别。,反距离权重插值公式,反距离权重
26、系数的确定,ARCGISIDW,IDW示例,权重过高，较近点的影响较大，拟合表面更细致（不光滑）；权重过低，较远点的影响增加，拟合表面更光滑。缺省值常为 2。,控制反距离权重的参数权重,搜索半径固定 对固定型半径，搜索距离一定，所有在该半径内的样点参与计算。可预先设定一个阈值，当给定半径内搜索到的点小于该值时可扩大搜索半径，直到达到该阈值为止。搜索半径类型可变 设定参与计算的样点数是固定的，则搜索的半径是可变的。这样对每个插值点的搜索半径可能都不同，因为要达到规定的点数所需要搜索的区域是不一样的。,控制反距离加权的参数搜索半径,可利用一线状和面状数据集来限制样点的搜索。线状数据集可作为平坦地表
27、的悬崖或脊状障碍物：只有位于同侧的样点才符合要求。,控制反距离加权的参数障碍设置,权重系数和搜索半径的影响图示,Power=2,search=230,Power=2,search=150,Power=2,search=600,Power=4,search=600,优点简便易行；可为变量值变化很大的数据集提供一个合理的插值结果；不会出现无意义的插值结果而无法解释。不足对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的“鸭蛋”分布模式；全局最大和最小变量值都散布于数据之中。距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样点数据取值范围内。,反距离插值评价
28、,多项式历来都被认为是最好的逼近工具之一，它插值光滑，单不具有收敛性，会随着节点数目增多而次数升高，一般不宜采用高次多项式插值，否则逼近的效果往往是不理想的，甚至发生龙格振荡（当节点数目n不断增大时，Ln（x）在区间中部区域f（x），但对于区间两端的x，Ln（x）并不趋于f（x），也称龙格现象）,分段插值,在插值范围较小，用低次插值往往就能奏效，最直观的办法就是将各数据点用折线连接起来，这种增加节点，用分段低次多项式插值的化整为零的处理方法称作分段插值法，即不去寻求整个差值区间上的一个高次多项式，而是把区间划分为若干个小区间。如果那么分段线性内插公式为：分段线性插值通常有较好的收敛性和稳定性，
29、算法简单，克服了龙格现象，其缺点是不如拉格朗日插值多项式光滑。,样条函数又称样条插值函数，实际上是一种改进的分段差值函数。它不同一般分段插值函数在各分段点处存在间断而是能保持整个曲线的光滑并且保留分段插值函数的低次性特点该方法适用于渐变的表面属性，如高程、水深、污染聚集度等。,样条插值(Spline Surface),样条插值的目标就是寻找一表面s(t)，使它满足最优平滑原则，也就是说，利用样本点拟合光滑曲线，使其表面曲率最小。相当于扭曲一个橡皮，使它通过所有样点，同时曲率最小。样条函数是灵活曲线的数学等式，为分段函数，一次拟合只有少数数据点配准，同时保证曲线段的连接处为平滑连续曲线。这就意味
30、着样条函数可以修改曲线的某一段而不必重新计算整条曲线，插值速度快；保留了微地物特征，视觉上的满意效果。,样条插值(Spline Surface),规则样条插值拟合的曲面光滑、渐变，可能超出采样点的范围。权重在曲率最小化表达式中，定义曲面的3阶导权重，控制表面的平滑度。权重越大，曲面越光滑；权重必须大于或等于0，常取值为0，0.001，0.01，0.1，0.5等。张力样条 拟合的曲面不似前者那样光滑。权重：定义张力的权重。该系数越大，拟合表面越粗糙。权重必须大于或等于0，常取值为0，1，5，10等。,样条插值类型,薄板样条函数是以最小曲率面拟合控制点，薄板样条函数的估算由下式计算,薄板样条函数T
31、hin-plate splines,薄板样条函数函数的一个主要问题是在数据贫乏地区的坡度较大，经常涉及如同过伸的情况。各种用于订正过伸的方法有：薄板张力样条，规则样条。,薄板样条函数Thin-plate splines,不适用于在短距离内属性有较大变化的地区，否则估计结果偏大。样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些块拼成复杂曲面而又不至于引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。,样条插值插值评价,克里金插值由南非采矿工程师D.G.克里格（D.G.Krige）于1951年首次提出，故命名为“克里金”法，后经法国著名地理数学学家G.Mathero
32、n发展深化。,14.4克里金法(Kriging),理论假设：认为任何在空间连续变化的属性既不是完全随机，也不是完全确定的。任何变量的空间变化表现为三个主要成分的和：与恒定均值或趋势有关的结构性成分；与空间变化有关的随机变量，即区域性变量；与空间变化无关的随机噪声项或剩余误差项。一旦结构性成分确定后，剩余的差异变化属于同质变化，不同位置之间的差异仅是距离的函数。,1、原理,Z(x)=m(x)+g(h)+e”,区域性变量的特点：随机性。即局部不规则的随机性质，可以进行统计推断。结构性。即存在某种空间自相关,可用某一数学函数来表示。,半方差：定量描述区域性变化的第一步，它为空间插值、优化采样方案提供
33、了有益信息。半方差的估算公式:半方差图：拟合后半方差图的用途是确定局部内插需要的参数,2、半方差,计算标准差和半变率,对于31个样本对，可以计算标准差，假定均值为0,且为正态分布,lag size 的影响,Variogram with a lag size of 5m and a lag tolerance of 2.5m.,Variogram with a lag size of 10m and a lag tolerance of 5m.,某个方向有更高的空间自相关性存在。,各向异性,块金值（c0；Nuddget):当h=0时的非零变率，由不可解释的原因引起；基台值（c0+c；sill):
34、半变率曲线变平缓时的变率值，表明在某个距离上样本点不再存在相关性，通常等于数据集的方差；变差值（range）:当基台值出现时的h值(sill 95%时的h值).重要的是原点附近半变率图的形状，越是最近的点对插值结果的影响越大。,半变率图的组成,空间自相关部分：C/(c0+c),半方差模型,球面模型,指数模型,线性模型,高斯模型,3、Kriging插值的方法,式中：z0为待插入点的值；Zx为已知点的值Wx为每个点的权重值计算Wi，按采样点数据的半方差图的统计分析原理来计算。,权重的计算（三个已知点情况下）,式中：r(hij)是已知点i和j之间的半方差，r(hi0)是已知点i和未知点之间的半方差，
35、r(hij)和r(hi0)可以通过半方差模型来求得；Wi为每个已知点的权重，是拉格朗日系数，是为了将估计误差降低到最小；根据上式，通过解算联立方程可以计算出Wi,待插值的计算,Z0=Z1W1+Z2W2+Z3W3并且通过方差测度来计算误差：,3、ArcGIS下的Kriging插值,4、IDW vs.Kriging,Kriging 产生似乎更自然的结果，避免异常值的产生；同时能给出标准误差。,IDW,Kriging,通用克里金插值：要求数据是二阶平稳的或纯平稳的泛克立金插值：如果数据在空间上存在明显的趋势，那么，应该使用泛克立金方法进行分析块克里金插值：对中心在X0的小区或块段进行估值协克里金插值：协同克立格分析是一种空间数据的解释技术，其基本的思想是利用变量之间的空间相关关系进行估计或预测。按照如下的统计准则，它可能是目前最好的空间数据分析方法要处理的问题是：有两个空间变量，如果第二个变量的分布广，采样密度更高，而第一个变量难以测定或测定的费用较高，那么，可以利用有限样本的变量之间的空间关系来改进对于第一个变量的估计。,其它kriging插值,ESRI,
