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1、1,第四章 液体运动的流场理论,2,探索液体运动规律有流束理论和流场理论两种不同的途径。流束理论：将液体看作是一元流动，只考虑沿流束轴线方向的运动，而忽略与轴线垂直方向的横向运动，因而不是液体运动的普遍理论。流场理论：把液体运动看作是充满一定空间（流场）而由无数液体质点组成的连续介质运动，研究流场中每个液体质点的空间位置、流速、加速度、压强等运动要素之间的关系。是研究液体的三元流动，具有普遍意义。,3,一般情况下同一时刻不同空间点(x,y,z)上液体的运动要素是不同的，即使在同一空间点上运动要素也是随时间 t 而变化的。所以各种运动要素是空间位置(x,y,z)和时间 t 的连续函数。,4-1
2、流速、加速度,4,在时刻t，某一液体质点通过渐变段上的A点，经过时间dt，该液体质点运动到新的位置。在时刻t，A点流速为，点的流速为。在时刻t+dt，A 点的流速变为，而 点的流速则变为,5,因此，该液体质点通过A点时的加速度应为 式中第一项叫做 时变加速度，第二项叫做 位变加速度。,在三个坐标轴上投影为:,6,时变加速度，恒定流时为零；非恒定时不等于零。位变加速度，是否等于零并不决定于是否是恒定流，而要看液体质点自一点转移到另一点时流速是否改变。,x、y、z 也是 t 的函数，因此,7,由此可知一个液体质点在空间点上的全加速度应为：时变加速度和位变加速度之和。这种概念同样适用于液体的密度与压
3、强。,8,流场中液体质点通过任一空间点时，所有运动要素都不随时间而改变叫恒定流。如果流场中液体质点通过任一空间点时至少有一个运动要素是随时间而改变的这种流动叫非恒定流。,9,拉格朗日法研究液体中各个质点在不同时刻运动的变化情况；欧拉法则是在同一时刻研究不同质点的运动情况。前者引出了迹线的概念，后者建立了流线的概念。在右图流线AB上取微分段ds，其方向余弦为,4-2 流线、迹线及其微分方程,10,可得流线方程：,11,某一液体质点在不同时刻所流经的路线叫迹线。根据定义有，由此得到迹线微分方程式恒定流时，迹线和流线重合。可用下列微分方程式表示：,12,4-3 液体质点运动的基本形式,在液体中取一个
4、微分平行六面体，各边长dx,dy,dz取一角点P（x，y，z），令该点在各坐标轴上的分速度为ux，uy，uz。由泰勒级数，Q角点速度为沿x方向 沿y方向沿z方向同理，可写出微分平行六面体每个角点的分速度。,13,平行六面体的整个变化过程可看作是由下列几种基本运动形式所组成：1、位置平移。2、线变形。3、边线偏转：(a)角变形；(b)旋转运动。,各点的速度均包含有，由图示，是平移速度。,14,2、线变形 因为角点P沿 x 方向的速度比角点A快（或慢），所以经过 时段后，PQ边在 x 方向的伸长（或缩短）量为。单位时间单位长度的线变形称为线变形速度，则,同理,15,（1）角变形：两边线偏转角相等,
5、3、边线偏转,16,由 产生的,（2）旋转运动,17,4-4 无涡流与有涡流,无涡流是液体质点没有绕自身轴旋转的运动，也就应满足下列条件：,18,流场中所有液体质点的旋转角速度都等于零，即无涡流，则必有流速势函数存在，所以无涡流又称为势流。,假定,19,有涡流可用旋转角速度的矢量来表征，引用所谓涡线、涡束等概念。涡线是某一瞬时在涡流场的一条几何曲线，在这条曲线上各质点在同一瞬时的旋转角速度的矢量都与该曲线相切。涡线的作法与流线相似。,20,与流束相类似，任意取一微小面积，通过该面积各点作出一束涡线，称为微小涡束。类似于流量，若微小的涡束的横断面积为，旋转角速度为，则 称为微小涡束的涡旋通量，或
6、称为涡旋强度。,21,速度环量也可写成：,称为沿封闭周线C的速度环量。,22,4-5 液体运动的连续性方程式,设想在流场中取一空间微分平行六面体取如图示。经一微小时段dt自左面流入的液体质量为：自右面流出的液体质量为 dt 时段内流进与流出六面体的液体质量之差：,23,故在dt 时间内流进与流出六面体总的液体质量的变化为故经过dt 时段后六面体内质量总变化为 在同一时段内，流进与流出六面体总的液体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等：,24,上式为可压缩液体非恒定流的连续性方程式。对不可压缩液体，常数，因此得连续性方程式为 或写作div u0，式中div u 叫速度散量。,
7、25,4-6 理想液体运动微分方程式及其积分,1、理想液体动水压强的特性 第一，理想液体的动水压强总是沿着作用面的内法线方向。第二，在理想液流中，任何点的动水压强在各方向上的大小均相等。,26,2、理想液体运动微分方程式欧拉方程式 液体平衡微分方程式是表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式。在理想液体中任取一微分平行六面体，作用于六面体的力有表面力与质量力。左表面动水压力 右表面动水压力,27,假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影为，故所有作用于六面体上的力在x轴上的投影的代数和应等于六面体的质量与加速度在x方向的投影之积。有：化简之，得同理,28,对静止液体，上式即为静水力
8、学欧拉平衡方程式。,29,4-7 实际液体运动时所产生的内应力,实际液体具有粘滞性，有相对运动的各层液体之间将产生切应力。1、切应力的性质和大小牛顿内摩擦定律可写成下列形式,30,因此由此可得最后可综合写成,31,2、动水压强的性质和大小 在运动的理想液体中，任意点的动水压强各方向都是相等的，那么在实际液体中任意点的动水压强的性质是否也一样呢？,32,即在实际液流中任一点的动水压强各方向是不相等的。所以在实用上均采用任意三个正交方向的动水压强的平均值来表示：此平均动水压强是与方向无关的。,33,将以上三式相加，整理后可得,34,对于不可压缩液体，连续性方程式，代入上式得 由此可知，常数 p为在
9、同一点上沿三个正交方向的动水压强的平均值。而,粘滞性引起,35,式中 理想液体时，故在同一点上各方向的动水压强是相等的。,附加正应力,36,4-8 实际液体运动微分方程式根据牛顿第二定律写出 x 方向动力平衡方程式,37,化简得 同理 上式为以应力表示的实际液体运动基本微分方程式,38,1、纳维而斯托克斯（Navier-Stokes）方程,由,代入,与,得到,39,上式括符内可以写成拉普拉斯算式，,对于不可压缩液体来说，故,40,或,故上式可写成,41,上两式就是适用于不可压缩粘滞性液体的运动微分方程式，一般通称之为纳维埃斯托克斯方程式。如果液体没有粘滞性（即理想液体）则，于是纳维斯托克斯方程
10、式就变成理想液体的欧拉运动方程式。如果没有运动，则 均等于零，于是纳维斯托克斯方程式就变成静水力学欧拉平衡方程式。所以纳维斯托克斯（N-S）方程式是不可压缩液体的普遍方程式。,42,例4-5 试用纳维斯托克斯方程式求直圆管层流运动的流速及流量表达式（见图）,43,解：层流运动时，液体质点只有沿轴向的流动而无横向运动，若取圆管中心轴为 x 轴，则。现取纳维斯托克斯方程组中第一式来看：恒定流时，。质量力只有重力时，因，所以。由连续方程式，可知。,44,由此可得，。将以上各值代入纳维斯托克斯方程组第一式，可简化为：因，所以 并不沿 x 方向而变化，由上式可知 与 x 无关，即动水压强沿 x 轴方向的
11、变化率 是一个常数，可写成,45,式中 为沿 x 方向长度为 L 的管段上的压强降落。由于压强是沿水流方向下降的，所以应在 前加一负号。因为圆管中的液流是轴对称的，相同，而且 y与z 都是沿半径方向的，故变数y，z可换成变数 r。而 与 x 无关，仅为 r 的函数，所以 对 r 的偏导数可以直接写成全导数。,46,或将上式积分利用轴心处的条件，得。,47,故再积分，得利用管壁处的条件，故 上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按抛物面的规律分布的。,48,故通过过水断面的总流量：过水断面平均流速：,49,液流运动可分为有涡流及无涡流，无涡流一定有流速势存在，称之为势流。严格地说，具有粘滞性的实
12、际液体的流动都不是有势流动，就是理想液体的流动也可以是有涡流。势流必有流速势 存在，对平面势流有 对不可压缩液体，为常数，平面势流的连续性方程为，则有，上式就是拉普拉斯方程式，故流速势是一个调和函数。拉普拉斯方程式的解法在水力学及流体力学中最常用的有流网法、势流叠加法、数值解法等。,4-9 恒定平面势流,50,恒定平面势流的流速势及流函数流函数及其性质：求解平面流就是要求解水流的流动场和流动图形，流线反映了平面流的流动图形。xy 平面的平面流，其流线方程式为或写作 若上式左边是某一函数 的全微分，则上式就可积分，即,51,此函数 叫做平面流的流函数。在某一确定时刻两个自变数的函数 的全微分可写
13、作比较上两式可知流函数 存在的充分必要条件,52,因此，流函数存在的充分必要条件就是：满足不可压缩液体的连续性方程式。所以不可压缩液体作平面的连续运动时就有流函数存在。流函数的性质：1、同一流线上各点的流函数为常数，或流函数相等的点连成的曲线就是流线。,53,2、两流线间所通过的单宽流量等于该两流线的流函数值之差。,54,3、平面势流的流函数是一个调和函数。当平面流为势流时，则所以有 所以平面势流的流函数与流速势一样，是一个调和函数。,55,流速势及等势线 平面势流必有流速势 存在，且函数 的全微分为所以有把 值相等的点连接起来的曲线就称为等势线。等势线的方程为,56,流函数与流速势的关系平面
14、势流中任何一点都有一个流函数和流速势。1、流函数与流速势为共轭函数2、等流函数线与等流速势线相正交，即流线与等势 线相正交。流线上任意一点斜率：即 同一定点上等势线的斜率：,57,2 流网法解平面势流 流网原理 提出下列两问题：(1)流网中流函数 与流速势 的增值方向如何确定？(2)流线和等势线到底应该根据什么原则来选绘呢？,58,作任一点A的一根等势线 和一根流线 并绘出其相邻的等势线 和流线，令两等势线之间的距离为dn，两流线之间的距离为dm。可得 同理 上式表明流速势 的增值方向与n的增值方向是相同的；流函数 的增值方向与 m 的增值方向是相同的。,59,在平面势流的流速场中，流速势 的
15、增值方向与流速 u 的方向一致；将流速方向逆时针旋转90度后所得的方向即为流函数 的增值方向。这一法则叫做儒可夫斯基法则。,60,取每一个网眼相邻两流线间的流函数差值与相邻等势线间流速势的差值相等，则由 转换为差分方程所有的 常数，则，每个网眼将成为正交曲线方格，即每两流线间所通过的流量 都是相等的。,其次，绘制流网时流线及等势线根据什么来选绘。,61,流网绘制 1、有压平面势流流网的绘制 试描时，一般先绘流线，后绘等势线 如果第一根等势线为，,62,流网绘出后，即可求得任意点的流速。对A点有：对B点有：,63,2、有自由表面的平面势流流网的绘制 有自由表面的平面势流流网的绘制关键在于自由表面边界的确定。如图所示二元矩形薄壁堰流，则自由表面上任意一点的能量方程为：令 则Hu为自由表面线上任意点自总水头线降落的铅垂距离。,64,而有 式中 可由流网中量得，因此先试描自由表面的边界，并绘出其流网，在流网中量出，即可求得 的数值，然后检验自由表面上各点至总水头线的铅垂距离的平方根与 的乘积是否等于，若不相等则须修正自由表面线直至符合为止。这样就可确定自由表面的边界并绘得流网。利用流网即可解平面势流问题。,65,学习重点,了解液体运动的基本形式：平移，变形（线变形和角变形），旋转。理解无旋流动（有势流动）和有旋流动的定义。恒定平面势流的流速势及流函数,
