《高等数学2.3连续型随机变量及其概率密度ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学2.3连续型随机变量及其概率密度ppt课件.ppt（29页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2.3 连续型随机变量及其概率密度,第二章 随机变量及其概率分布,一、定义2.8:,使对任意实数 a,b(ab),有Pa Xb,则称X是连续型随机变量,f(x)称为概率密度函数,简称概率密度函数,下图为其几何解释,A,二、密度函数性质:,设X是随机变量,若存在一个非负可积函数 f(x),(1)f(x)0 是可积的;,注(1)若一个函数满足上述两条性质，则它一定是某,个随机变量的密度函数.,(2)连续性随机变量与离散型随机变量的一个重要,区别是:连续型随机变量取单个值的概率为0,于是有 P a X b=P aX b,=P a X b=P aXb,三、定理2.4:,若随机变量X是连续型的,其密度函
2、数为 f(x),则有,其中 G 表示一个区域,且设 f(x)在G上可积.,四、连续型随机变量的分布函数：,F(x)=P X x,对于连续型随机变量 X，其密度函数为 f(x),则 X 的分布函数为,注(1)F(x)与密度函数 f(x)关系的几何解释如图所示:,(2)由积分上限函数的,性质可知,例2.9设随机变量 X 的密度函数为,(1)确定常数 k;,f(x)=,kx,0 x 3,3 x 4,0,其它,(2)求 X 的分布函数 F(x);,(3)求 P 1 X 7/2.,F(x)=,1,x 4,0 x 3,0,x 0,(2)X 的分布函数为,3 x 4,即 F(x)=,1,x 4,0 x 3,
3、0,x 0,3 x 4,五、几种常见的连续型随机变量:,(1)定义2.9:,1、均匀分布:,若随机变量 X 的密度函数为,则称随机变量 X 在区间 a,b 上服从均匀分布,记为 X U a,b,其中 a,b 为参数,a b.,注 若随机变量 X 服从 a,b 上的均匀分布,则 X,落入 a,b 的任何子区间的概率仅与该区间的长,度有关,而与子区间的位置无关,这是均匀分布的,一个特点.,(2)均匀分布的分布函数:,例2.10设电阻(单位)值R 是一个随机变量,均匀分布,在9001100.求R 的概率密度函数及R 落在 950,1050 的概率.,解 由题意知,R 的概率密度为,(1)定义2.9:
4、,2、指数分布:,设连续型随机变量 X 的密度函数为,(2)分布函数:,(3)服从指数分布的随机变量的特点:“无记忆性”,事实上，有,(1)定义2.11:,3、正态分布:,若随机变量 X 的密度函数为,(2)正态分布的分布函数:,(2)定义2.12:,(3)定理2.5:设XN(0,1),则有,注 可用(x)的定义证明定理.,(4)定理2.6:,(5)相关结论:,例2.11设随机变量 XN(108,32),试求,解(1)P 102 X 117,(1)P 102 X 117;,(2)求常数a,使 P X a=0.95.,由正态分布表反查得,例2.12设随机变量 XN(0,1),则,解(1)直接查表
5、知,(1)求 P X 1.96;P X-1.96;,P|X|1.96;P-1 X 2.,(2)已知 P X a=0.7019;P|X|b=0.9242,P X c=0.2981,求 a,b,c.,P X 1.96=(1.96)=0.975,利用(x)的对称性知,P X-1.96=(-1.96)=1-(1.96)=0.025;,P|X|1.96=P-1.96 X 1.96,=(1.96)-(-1.96),=P X 1.96-P X-1.96,=(1.96)-1+(1.96),=2(1.96)-1=0.95;,P-1 X 2=P X 2-P X-1,=(2)-(-1),=(2)-1+(1),=0.
6、97725+0.8413-1,=0.81855,(2)由于 P X a=(a)=0.7019,查表知 a=0.53,由 P|X|b=P-b X b=0.9242,有(b)-(-b)=2(b)-1=0.9242,故(b)=0.9621,查表知 b 1.78,由 P X c=0.2981,而(0)=0.51,故知 c 0.,由于(c)=0.2981,所以(-c)=1-(c),查表知-c=0.53,=1-0.2981=0.7019,即 c=-0.53,例2.13已知 XN(8,0.5 2),求,(1)P X 9;,(2)P 7.5 X 10;,(3)P|X-8|1=0.9242,(4)P|X-9|0.5,=(4)-(-1)=(4)-1+(1),0.8413;,例2.14某型号电池寿命 X 近似正态分布 N(,2),已知其寿命在250 h的概率均为92.36%,为使其寿命在,-x 和+x 之间的概率不小于 0.9,x 至少为多大?,由正态分布的密度函数关于 x=对称知,故 XN(300,35 2).,作 业,P 34:7,8,12(2)(3),13,14,22,习 题 二,
