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1、高 等 数 学,主讲人 宋从芝,河北工业职业技术学院,本讲概要,3.5 函数的最大值和最小值,闭区间上连续函数的最值某区间内有唯一极值点 实际问题在开区间内有唯一驻点,一.闭区间上连续函数的最值,存在性,设函数 f(x)在a,b上连续,在闭区间上一定有最大值和最小值。,可能的最值点,端点,极值点,驻点,不可导点(尖点),可能的最值点,（闭区间连续函数求最值）方法一的步骤:,求驻点和不可导点；,求区间内的端点、驻点和不可导点的函数值；,比较函数值的大小。,例1 求函数 在-2,2上的最大值与最小值。,解,函数 f(x)在-2,2上连续，,在(-2,2)内可导,比较函数值，,则f(x)在-2,2上
2、,练习 求函数 在-2,0上的最大值与最小值。,（函数在某区间内有唯一极值点x0）方法二:,二.某区间内有唯一极值点,当x0是极大值点时，就是该区间上的最大值点;,当x0为极小值点时，即为该区间上的最小值点。,例2 求函数 的最大值。,解,函数的定义域为,因为函数在定义域内有唯一的极大值点，则函数的极大值,由极值的判定定理二知，,就是函数的最大值。,实际问题本身决定函数在开区间内确有最大值在开区间内只有唯一驻点 则可以断定驻点就是所要求的最大值点。,（实际问题在开区间内有唯一驻点）方法三的步骤：,三.实际问题在开区间内有唯一驻点,求函数的最值有三种方法：,1.闭区间上连续函数的最值2.某区间内
3、有唯一极值点 3.实际问题在开区间内有唯一驻点,闭区间,闭区间、开区间,开区间,在生产实践和科学研究中，往往要求在一定条件下，“用料最省”、“耗时最少”、“成本最低”、“效率最高”等问题。这些问题，在数学上常常归结为函数的最大值和最小值问题。,(1)建立目标函数（确定定义域）；,(2)选择适当方法（3种）来求目标函数在定义域上的最值；,求实际中最值的步骤：,(3)求出最值或最值点。,例3 用边长为48cm的正方形铁皮做成一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形。然后把四边折起，就能焊成铁盒。问在四角截去多大正方形，才能使所做的铁盒容积最大？,图形：,问题归结为：求x为何值时，
4、函数V在区间内(0,24)取得最大值，,铁盒的容积为Vcm，,解,令,设截去的小正方形的边长为xcm，,据题意，则有,驻点为 x1=8，x2=24,即，求最大值点。,(舍)。,由题意知，铁盒必然存在最大容积，,则当x=8 时，即当截去正方形边长为8cm时，铁盒的容积最大。,且函数在(0,24)内有唯一的驻点 x=8。,例4 铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距离A处为20km，AC垂直于AB。为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路，已知铁路上每公里的货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的总运费最省，问D应选在何处？,x,100-x,?,解,设铁路每公里的货运的运费为3k，公路每公里的货运的运费为5k（k为正常数）。,设点D选在距A点 xkm 处，则,设货物从B点运到C点的总运费为y，,则,求x在0,100上取何值时，函数 y 的值最小,得,在0,100的驻点x=15。,求最小值点。,使用闭区间上求最值的方法，,即D应选在距A点15km处，此时总运费最省。,比较函数值的大小：,小结,求最值的方法：,闭区间上连续函数求最值；,作业 习题3.5 1（1）6,某区间内有唯一的极值点；,实际问题在开区间内有唯一的驻点。,Thank You!,
