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1、第八章分离变数法,分离变数法在数学物理方程中的地位:,分离变数法是求解数学物理定解问题的基本方法，是贯穿数学物理方程内容的主要线索，本章以分离变数法为主线，结合傅里叶级数法研究求解一维自由波动方程、一维无源输运方程、直角坐标系中二维无源稳定场方程的方法。,引言,8.1分离变数法详析,一、分离变数法介绍,长为、两端固定的均匀弦的自由微小横振动的定解问题,两边同除于,为常数,又由边界条件：,X(x)：,T(t)：,讨论：,（1）,考虑边界条件得：,不存满足边界条件的、非零的可分离变数形式的特解,(2),考虑边界条件得：,不存满足边界条件的、非零的可分离变数形式的特解,(3),要有非零解，必须：,满
2、足给定边界条件的可分离变数形式的特解为：,由于泛定方程是线性齐次方程，因此这些特解的线性叠加，仍然是泛定方程满足给定的边界条件的解。,一般解,取决于初始状态,的确定：,综上，长为、两端固定、均匀弦的自由微小横振动问题的解：,二、两端固定的弦振动解的物理意义,1.本征解、本征振动,本征振动：本征解描述两端固定的弦固有的振动方式。,2.行波的一般表示,表示以速率 沿 正向传播的行波,3.本征解是驻波解,其中,4.驻波形成条件,驻波的波长只能取特定值。,驻波的波长只能取某些特定值,驻波的相位传播速率,驻波的角频率,基波,高次谐波,三、分离变数法的适用范围,分离变数法仅适用于求解具有齐次泛定方程和齐次
3、边界条件的定解问题。,若定解问题的泛定方程非齐次，或边界条件非齐次，必须用其它办法将边界条件和泛定方程转换成齐次的，然后应用分离变数法求解。,四、分离变数法求解定解问题的基本步骤,五、付里叶级数法,令,与采用分离变数法所得结果一致。,8.2直角坐标系中有界空间上的齐次泛定方程,例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题,代入,得,由初始条件,，,，,【讨论】本征解与泛定方程、边界条件类型的关系,例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。,解:不妨设 端为温度保持零度的端，即 端与外界绝热，即,本导
4、热问题可表示为:,【解法一】分离变数法,令,当 时,齐次方程组只有零解,无意义。,当 时,无意义,当 时,【解法二】付里叶级数法,展开为傅里叶级数,代入一维无源热传导方程得：,解得,则,与分离变数法相同,【讨论】,例3：细杆导热问题。杆的初始温度 是均匀的，保持杆的一端的温度为不的，至于另一端则有强度恒定的热流 流入。,解：,，,，,因边界条件非齐次，必须将其转换为齐次边界条件，才能应用分离变数法。,令,此时泛定方程是齐次的、边界条件也是齐次的,令,的定解问题转换为 的定解问题,例4：如图所示，散热片的横截面为矩形，它的一边 处于较高温度，其他边,和 则处于冷却介质中因而保持较低的温度。试求解
5、这横截面上的稳定温度分布。,解：本问题是二维无源稳定温度分布，其定解问题可表为,【方法一】叠加法,令,和 的定解问题均是齐次的泛定方程，且一个变量的边界条件是齐次边界条件，均可用分离变数法求解。,【方法二】温标移动法,根据边界条件：,把 展开为傅里叶正弦级数，即,代入,得：,求叠加系数,因此散热片内的稳定温度分布为,【讨论】,本章小结,本章研究当边界条件是齐次边界条件时，一维自由波动方程、一维无源输运方程、矩形域无源稳定场方程的求解。分离变数法是基本方法，傅里叶级数法是辅助方法。,1.直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）分离变数法求解定解问题的基本步骤，本征值问题的求解方法。,2.驻波解的物理意义。,3.直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）分离变数法适用的定解问题。,4.直角坐标系中有限区间上（或矩形区域内）一些基本定解问题的解。有12种基本类型如下表所示。,表：直角坐标系中有限区间上(或矩形区域内)12种基本定解问题的解,本章习题梁昆淼编.数学物理方法（第三版），P201:1,2,4,5,7,12。,
