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1、,曲边梯形的面积与定积分,1.4.1,了解：几个常用求和公式,1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,y=f(x),一.曲边梯形的定义,x=a,x=b,曲边梯形的特点、只有一边是曲线、其他三边是特殊直线,问题1,圆的面积公式是如何推导的？,曲边梯形的面积,将圆分成若干等份,无限分割！,y=f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得,A A1+A2+A3+A4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得,A A1+A2+An,将曲边梯形分成 n个小曲边
2、梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为,以直代曲,无限逼近,（1）分割,把区间0，1等分成n个小区间：,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。,（2）近似代替,(不足近似值),（3）求和,（4）取极限,小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,（1）分割,（2）近似代替（3）求面积的和,（4）取极限,不足近似值！,(过剩近似值),(过剩近似值),求曲边梯形面积：(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越
3、细，面积越精确,1、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确,C,练 习,二.定积分定义,设函数f（x）在a，b上连续，在a，b中任意插入n-1个分点：,把区间a,b等分成n个小区间，,则，这个常数A称为f(x)在a，b上的定积分(简称积分)记作,积分上限,积分下限,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,说明（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关,1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）0时，那么：定积分 就表示以y
4、=f（x）为曲边的曲边梯形面积。,2、定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。,定积分的几何意义是什么？,【错因分析】在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误,解：,错解！,定积分的简单性质,题型1：定积分的简单性质的应用,题型2：定积分的几何意义的应用,8,问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。,理解练习,见学案例1；例2；例3,微积分基本定理,微积分基本定理：,设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f（x)，则，,这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculu
5、s)，又叫牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).,说明：牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。,解（）,例1 计算下列定积分,练习1:,例计算定积分,解:,达标练习：,初等函数,微积分基本定理,三、小结,定积分公式,牛顿,牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。牛顿1661年入英国剑桥
6、大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。,返回,莱布尼兹,莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。,返回,基本初等函数的导数公式,返回,
