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1、例3：试求内接于椭圆，周长最大的矩形，即在约束 条件下，使取最大值。解：拉格朗日函数为：极值的必要条件为:,将代入 得：,联立求解：正，负（取负值）确定极大值的充分条件为：,其中,将代入上式，则有:,在驻点上，目标函数有极大值:,例1：求泛函 的变分。解：,由于泛函的变分就是泛函增量的线性主部，所以泛函的变分为：当 时，相应的变分值为：,泛函的变分是唯一的。如果（3-12）其中，都是关于 的高阶无穷小，则可证,（3-13）即（3-14）定理（3-1）：如果泛函 是可微的，则泛函的变分为（3-15）式中，为任意实数，证明如下：,因为由于 是关于 的线性连续泛函，根据线性泛函性质有又由于 是关于
2、的高阶无穷小，所以,因此 证毕同理，如果泛函 是 阶可微的，则其 阶变分为：(3-16)如果泛函 为多元泛函即同理(3-17)式中 为泛函 的宗量函数。,多元泛函的变分为：,例3：求泛函 满足边界条件 的极值曲线。解：代入欧拉方程（3-44）代入（3-44）,两边积分得第二次积分，其中,利用边界条件 可解得 即,注：,因此泛函的极值只能在曲线 上实现。即,例4：最速降线问题确立一条连接点 和定点 的曲线。使质点在重力作用下从点 滑动到点 所需要的时间最短（忽略摩擦和阻力影响）。解：按题意，目标函数可构造为 根据力学公式，质点运动的速度为(3-52),g-为重力加速度目标函数为 因被积函数 不是
3、显含，故可用欧拉公式的首部积分公式，即,注：通过通分，整理简化得：注：,式中,用参数方程法求解，引入参数（），并令,积分后得,所求曲线的参数方程为：令，并注意到边界条件,因此参数方程为 这是滚线的参数方程，是滚动圆的半径，常数 由另一个边界条件 确定，称为滚动角。,所以最速降线是一条圆滚线，所谓圆滚线是指一圆沿定直线滚动时，圆周上一定点所描绘出的轨迹。,例7已知受控系统的微分方程为求最优控制，使目标函数 取最小值，给定的边界条件为，解：将给定的系统微分方程化成过程等式的约束形式。设，系统的状态方程为：,式中边界条件相应的改为：，目标函数改为：应用拉格朗日乘子法，哈密尔顿函数为：(),伴随方程（
4、协态方程）为，积分后()即控制方程为状态方程为,利用边界条件 确定积分常数最优轨线及最优控制为，,如果始端条件不变，终端条件改为部分约束和部分自由，边界条件为：自由。根据式（399）横截条件，时，时，得,此时积分常数为 最优轨线及最优控制为最优曲线如图所示：边界条件 自由,例1 已知受控系统的状态方程为（见线控习题 110-111页）,始端条件 终端时间 固定,终端状态 自由，试求控制函数 使函数 性能指标取极小值。（取负值）解：(1),（2）,（3）,注 将（3）代入（1）再求导（4）将（1），（2），（3）代入（4）注：特征方程 所以 利用边界条件,利用边界条件后得:将边界值 代入上式得:
5、得:,（取开方后的负值为衰减稳定系统）（注：,）最优控制,例5-2 设受控系统的状态方程为 不等式约束条件为:试求使系统由初始状态 转移到坐标原点的最短时间的最优控制。解：最短时间系统的性能指标为:哈密尔顿函数为:,协态方程 即:,对上式求导数,解之 式中 为初始条件决定的常数。极值条件为 由于 是一个周期函数，其周期为，正，负符号每经过 就要改变一次，或者说 每间隔 的时间就要切换一次，且在 和 两个边界值上不断换接。对应于 和 两种情况求解状态方程。,当 时，状态方程为:特征方程 对上边第一式两边求导，设初始状态为，对状态方程求解为,其中,和,为常量。,将 和 两式合并后消去,则得出的最优
6、相轨迹方程为:以上方程是一圆方程，其相轨迹为以为圆心，半径为 的一簇圆。当 时，其相应轨迹为以 为圆心，半径为 的圆周，且该圆周通过坐标原点，将通过坐 标原点的相轨迹称为“开关曲线”。由,两式可见，每当 时，,而 却可为任何值。（随 的选择而定）。因此，开关曲线 其余部分也将是在横轴,以下的半径为1的各半圆组成。,如图所示。当 时，状态方程为,对状态方程求解得,消去t后得出的最优相轨迹方程为 其开关曲线是在横轴上的半径为1的各半圆所组成。系统从初始状态 转移到坐标原点过程如下，假定系统的初始状态在 点，相应的，于是状态沿相轨迹 转移到 点，相应的 切换到,随后状态沿相轨迹 转换到 点，点位于开
7、关曲线上，此时的 又切换到,最后状态沿开关曲线 转换到坐标原点 点。,例 5-4 设二阶系统的状态方程为不等式控制约束为(1)试证明系统从初态 转移到终态 时所消耗燃料为最少时的最优控制为，,（2）欲要求系统从初态 以最短时间转移到终态,试确定。解：对于最少燃料控制系统，其性能指标为系统的哈密尔顿函数为为使 函数全局最小，最优控制为,即,=,当,0 当,当,为了确定最优控制，必须求解。通过对协态方程求解，得 当 时，利用式（5-128）并代入初始条件,；，则有当 时，利用式（5-129）并代入初始条件 则有当 时，利用式（5-131）并代入初始条件，则有,和 关系曲线以及最优轨线图如下图所示。,由图可见，系统初态 位于 区域，故，系统初态由 点 驱动下转移到 点，此时相应有,切换到 阶段，当 时，其最优轨迹（线）为平行于 轴的直线,或者说系统在惯性作用下，其状态向坐标原点转移。当达到开关曲线上的 点时，,切换到。在 驱动下，状态沿开关曲线转移到坐标原点。整个状态转移过程为初态点开始沿最优轨线 转移到原点。利用式（5-133）并代入给定条件 和 则有,由此所得最优控制为,当,0 当,1 当,利用式（5-135）并代入给定条件 则按最短时间控制的最短时间为,
