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1、上节内容回顾：,1、模型中的参数X具有先验信息，求X的最佳估计称“滤波”；2、另有非模型中的参数X与模型中参数有相关关系称“推估”；3、协方差函数的确定。,最小二乘配置（拟合推估）,解决的问题：既包含求定信号的估值内容，又包含求定倾向参数的估值内容，即兼有求定信号和参数的估值情况，称为“最小二乘配置法”。最小二乘配置与滤波-推估区别：前者求参数与信号估值；后者求定信号估值。（信号：已测点和未测点）,可见：测量平差中的“滤波”也就是通过L(观测值)求定信号(随机参数）X和X的估值的方法；“配置”是既求信号又求参数的估值方法，或者说当观测方程中含有非随机性质和随机性质的两类参数时，数据处理需用配置
2、方法。故，可以说，“配置”是一种概括了经典最小二乘平差、滤波和推估的广义平差法。,例如：在重力测量中，每一个点上的重力观测值都是正常重力、重力异常和观测误差之和，即：正常重力取决于所采用的参考系统的4个基本参数，是不具有随机性质的变量（倾向）；重力异常则是随机量，亦即信号。,例：在卫星观测中，距离观测值S是卫星正常轨道参数X以及由地球重力场所引起的扰动T的函数，于是，其中：X是不具有随机性质的变量（倾向参数），地球重力场所引起的扰动T则是随机量，即信号。以上这类问题，都是：如何根据观测数据同时确定非随机参数和信号的最优估值，在测量平差中称为“最小二乘配置法”。,不难看出，配置的数学模型可表示为
3、：其中：X为滤波信号 X推估信号、Y为倾向参数（非随机参数）,1、最小二乘配置的估值公式函数模型：根据广义最小二乘原理，则可写出观测方程为：,随机参数的方差阵为,误差方程或写为：权阵：,先考虑DX=0，D=0情况，即：由广义最小二乘原则 求自由极值，得：,即等价：,而：,按矩阵求导，得：,回代到观测方程得法方程：解法方程：解的方差阵：,02等于1,也可以利用矩阵反演公式（取单位权方差02=1），可变换公式为：,以上求的的实际是估值误差的方差和协方差。,若DX0，D0情况下，由广义最小二乘原理：,即：,则按间接平差法得：,特殊地，当G=0，上述即为最小二乘虑波和推估公式。,仍可得到配置的公式：,
4、也可以按以下方法推导配置估值计算公式（将配置的函数模型改写，按附有参数条件平差方法求估值）按附有参数的条件平差方法推导出配置公式。,即,仍按广义最小二乘原则，组成新函数：,或者：,在广义最小二乘准则或直接代入附有参数的条件平差系列公式，得出配置的计算公式。,2、滤波、配置的验后单位权方差,验后单位权方差估值普遍公式为：1)滤波的验后单位权方差：2)配置的验后单位权方差为：,3、最小二乘配置的应用,例：在相距均为1.445的5个点处测得F(u)的函数值Li(i=1,2,5),观测数据列于下表。,例题：,题意：1、观测值L,(5个），依赖于U；2、建立函数模型F(U),待估参数是：a1,a2,X(
5、U)；3、X(U)是函数残余变形。,1、2作为非随机参数Y；X（）为函数变形信号.函数模型：,由:,得:,随机模型：根据协方差函数式计算X和X的方差、协方差。,计算结果列表：,代入配置公式即可求出随机参数、非随机参数等。,倾向参数：,插值点估值：,中间点的函数内插估值为：将前述求出的Y（a，b）和内插点X的估值，回代到内插值的方程（上式），就可求四个中间点函数值的内插估值。,方法一：按滤波推估方法求解 设重力异常估值为X（不考虑其非随机部分）,即可按滤波推估公式计算估值了,方法二：按最小二乘配置法求解1）把重力异常值与点位的关系（趋势）当成是系统部分；2）信号为重力异常随机部分。,关于用最小二
6、乘法求重力异常1）重力异常一般认为包含：随机部分和系统部分；2）系统部分一般又表示为各点坐标的线性函数3）重力异常的观测方程4）重力异常的内插方程,例：最小二乘配置在GPS高程拟合中的应用,高程异常：=H0-H,在GPS网中,进行了高精度的水准联测的点,称为已测点。已测点高程异常计算：这些点的大地高H0和正常高H均已知,其高程异常就可由公式精确求得。,问题：根据观测数据求高程异常的函数式-趋势。,方法一：先由已测点的高程异常值用某种数学模型去拟合-常规平面拟合。即：计算求出这个函数,然后由拟合函数求出未测点的高程异常,进而计算未测点的高程。,采用最小二乘法，求的：拟合函数：,设拟合函数为：,用
7、常规拟合方法的缺陷：拟合函数毕竟是趋势面，与高程异常实际值之间不可避免有差异（山区更大）。这差值在局部范围有一定规律、但大范围，变化又无规律，即差值是随机参数，也就信号。更好的处理方法：求某点高程异常时，可适当加上该点处的信号的改正，从而得到更为正确的高程异常模型。-最小二乘配置。,方法二：将模型误差看作是随机函数的最小二乘配置法。,若用最小二乘配置法来处理高程异常:1)将高程异常与其趋势面的差值S看作随机函数,即所谓的信号,就可以用最小二乘配置法来处理这个问题。2)其数学模型为:L=BX+S+式中:L为已测点高程异常的观测值,X为拟合函数未知数，（B与所选择的拟合函数有关）,S为观测信号,为
8、观测信号的噪声。,3)将未测点高程异常观测信号用S 表示,那么其数学模型可表示为 L=BX+CZ+式中:C=EO、Z=SS T。则，就可按最小二乘配置法来处理未测点高程异常的问题了。4）未测点的平差值：,关于先验方差和协方差估值E(Z)=O,E()=OD、DZZ的求法按上节课介绍的即采用协方差函数来确定常用高斯函数：(d为两点之间的距离,b0、k为参数)。,客观世界的任何一种变化，总可以用某一函数模型来表述。函数形式可分解为两部分：1、可用某一理想函数表示，即所谓的倾向部分（系统部分）；（即某种拟合函数的系数！）2、除基本变化以外的剩余部分，所谓的函数的剩余变形部分即随机部分。只要已测数据点充分多，且已知观测误差和信号（随机部分）的协方差函数，均可用配置法进行数据处理。,中南大学信息物理工程学院,谢谢！,
