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1、节水洗衣机,我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水（称“加水漂洗脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型作出评价。,问题分析,不要求对洗衣的微观机制(物理、化学方面)深入研究，只需从宏观层次去把握。,洗衣的基本原理(宏观上)是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中，再脱去污水带走污物。,洗衣的过程是通
2、过“加水漂洗脱水”程序的反复运行，使残留在衣物上的污物越来越少，直到满意的程度。,洗涤剂也是不希望留在洗涤剂的东西，可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和。,基本假设,每轮洗衣时间足够，以便衣服上污物充分溶于水中，从而每轮所用的水被充分利用；,每轮脱水时间足够，以便污物充分脱出，令污水量达到一底线，设此线为常数c，cL。（注：除首轮外，每轮的用水量实际上是加水量和衣物中残留水量只和。）,仅考虑离散的洗衣方案：“加水漂洗脱水”，三个环节分离，他们构成一个洗衣周期，称为“一轮”,每轮用水量不能低于L，否则无法转动；同时不能高于H，否则水会溢出。,变量定义,设共进行n轮“加水漂洗脱水”的过程
3、，依次为0，1，2，n-1轮,x0衣物上的初始污物量 uk第k轮加水量；xk+1第k轮脱水后污物量(k=0,1,n-1),污物+洗涤剂,1）、污物溶解的情况如何？,用溶解特性刻画,2）、每轮脱水后，污物量减少情况如何？,用动态方程,3）、如何设计一系列“洗脱”构成的节水程序？,通过脱水程序反映得出优化结果，属于机理分析,建模过程,1、溶解过程和动态方程,在k 轮洗衣之前，第k-1轮脱水之后的污物为：xk=pk+qk 其中Pk表示已溶，qk表示未溶,考察第k轮,问题：pk与第k轮加水量uk之间有何关系？,一般规律：pk为uk增函数。且uk=L时，pk最小（=0）；uk=H时，pk最大（pk=Qx
4、k,0Q1）；,Q定义为溶解度，随洗涤剂的不同而不同。,拟合线性函数：pk=Qxk(uk-L)/(H-L),在第K轮脱水之后，衣服上尚有脏物qk=xk-pk，有脏水C，其中脏水C中所含脏物量为C(pk/uk)，于是第k轮完成之后衣服上尚存的脏物总量为：xk+1=(xk-pk)+C(pk/uk),基本模型,一方面，衣服的洗净效果度量：,另一方面，总用水量最小：,优化模型,表示对洗净效果的要求,模型简化,分析与求解,1、最少洗衣轮数,由优化模型的条件中，定义函数：,显然,由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到：,若考虑Q的值不大于0.99（见6注记）而C/H代表脱水后衣服上的尚存水量与最高水量之
5、比，其数量级应是很小的，所以,取最小的整数即为最少洗移轮数,2、算法 可选用一种非线性规划算法，对n=N0,N0+1,(凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取N=10)分别求解，然后选出最好的结果，其中N0是满足上面两式的最小整数。注意不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。,5.模型结果,表-1最溶解率Q=0.99时不同洗衣轮数n下的最少总用水法量和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）表-2是不同溶解率Q值下的最优洗衣轮数，最少总用水量和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）,评价,1）、节水洗衣机是一个非常实际的问题，本文只考虑了非常基本的要素展开分析、建模，但在实
6、际中要考虑的因素更多。2）、可考虑“洗涤”和“漂洗”的不同，前者只在首轮加洗涤剂，可用特殊的溶解特性（pk与uk关系）加以区别，如可能用单峰函数比线性函数好。3）、实际上，无论是参数L，H，C，Q以及洗净效果要求，还是溶解特性，均应在各种不同条件下（比如针对衣服量的少，中，多）通过实验确定。4）、根据前述分析和受仿真结果的启示，提出下列猜想：若每轮溶解特性相同，则最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数N0且每轮洗漂的最优用水量相等。若猜想成立,则问题可以大大简化。,基本假设,每轮漂洗后污物均匀地溶于水中；,每轮脱水后衣物含水量为常数c；,仅考虑离散的洗衣环节：“加水漂洗脱水”，称为一轮,每轮用水量不能低
7、于v1，不能高于v2,变量定义,设共进行n轮“加水漂洗脱水”的过程,uk第k轮加水量；xk第k轮脱水后污物量(k=1,2,n),x0初始污物量,每轮脱水前后污物在水中的浓度不变,基本模型,在最终污物量与初始污物量之比 xn/x0 小于给定的（清洁度）条件下，求各轮加水量uk(k=1,n)，使总用水量最小。,1.几何平均值小于(等于)算术平均值,2.问题简化,第 2n 轮加水量 uk=u(常数),第1轮加水量 u1=u+c,3.加水量限制,4.进一步的考虑,m衣物重量,每轮脱水后衣物含水量c=am,浸泡衣物所需水量d=bm,洗衣机水量下限v1=v0+bm,洗衣机最小注入水量v0,用以下实验数据测定a,b,得到 a=0.6,b=5.0,5.模型结果,与实际比较：海棠洗衣机XQB42-1型，3kg衣物用水127升。本模型可节约18升。,
