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1、,第4章,3-3 三铰拱,一、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构，拱式结构也常称为推力结构。,二、特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。（2）用料省、自重轻、跨度大。（3）可用抗压性能强的砖石材料。（4）构造复杂，施工费用高。,第4章,3-3 三铰拱,三、拱的种类：,第4章,四、拱各部分的名称：,五、拱与曲梁的区别,第4章,3-3-1三铰拱的内力计算,一、拱的内力计算原理仍然是截面法。,二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。,三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。,3-3-1 三铰拱
2、的内力计算,相当梁,(推力计算公式),在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。,在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比)愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。,相当梁,三铰拱的内力计算：,注：作拱结构的内力图时，为方便起见，可以取拱的水平投影 线为基线进行绘制。,例3-6 绘制图示三铰拱的内力图。,拱轴线方程：,解：求支座反力。,求截面2的内力：,求截面6的内力：,绘制内力图：,3-3-2 三铰拱的压力线,1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量MK、FQK、FNK。这三个
3、内力分量可用它的合力FR代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。,3-3-2 三铰拱的压力线,压力线的概念在砖石和混凝土拱的设计中有重要意义。由于 这些材料的抗拉强度较抗压强度低得多，通常要求截面上不出现 拉应力。因此，压力线不应超出截面的核心区。若拱的截面为矩 形，由材料力学算得核心区高度为截面高度的1/3,故压力线不应 超出截面三等分的中段范围。,借助于压力线的概念，可以用图解的方法求出拱任一截面上 的内力。,它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令,在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁的弯矩纵标值成比
4、例。,从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。,对三铰拱而言，在竖向荷载作用下，任意截面上弯矩计算式为：,例3-7 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。,解 由式,先列出简支梁的弯矩方程,拱的推力为：,所以拱的合理轴线方程为：,注 意*合理轴线对应的是 一组固定荷载（M0与荷载有关）；*合理轴线是一组具有不同高跨比的抛物线(拱高 f 未定)。,纯受压状态的合力拱轴是一种理想状态，这一状态只可能对应一种确定不变化的荷载（恒载或静力荷载）才做得到。实际设计中，合理拱轴是针对主要荷载，并使在各类荷载的不利组合下拱的弯矩最小。,例3-8 求图示三铰拱的合理拱轴线。,
5、填土的容重为：。,竖向分布荷载：,解：,本例y轴向下，所以：,即：,解得：,确定常数：,最后得合理拱轴线：,例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。,证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。,水平分力：,竖向分力：,恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。,（说明圆弧线是合理拱轴线）,3-4 静定平面桁架,民用房屋屋架,工业房屋屋架,起重机塔架,铁路的桁桥,理想桁架的三项假设：,各杆在两端用理想铰（光滑而无摩擦）相互联结。,各杆的轴线均为直线，并
6、通过铰的几何中心。,荷载和支座反力均作用在结点上。,静定平面桁架的分类(按几何构造特征划分)：,简单桁架：由基础或一个基本铰结三角形 开始，依次增加二元体构成的 桁架。,联合桁架：由几个简单桁架，按照几何不 变体系的基本组成规则联成的桁架。,复杂桁架：不是按上述两种方式组成的其他桁架。,按桁架外形划分：,平行弦桁架,折弦桁架,三角形桁架,梯形桁架,3-4-1 结点法,由平衡条件可求得：,结点的几种特殊情况：,两杆结点上无外力作用时，则两杆均为零杆。,两杆在一直线上的三杆结点上无外力作用时，则侧杆为 零杆，而在同一直线上的两杆的轴力必相等，并且其轴 力的性质（指受拉或受压）相同。,直线交叉形四杆
7、结点上无外力作用时，则在同一直线上 的两杆的轴力相等，且性质相同。,侧杆倾角相等的K形结点上无外力作用时，则两侧杆的 轴力相等，但性质相反。,结点9符合情况(a),所以：,结点5符合情况(b),所以：,结点2、6符合情况(c),所以：,撤除零杆97、98后，桁架属 于对称受力状态，这就要求 杆43与47的轴力大小相等、性质相同。但因杆45是零杆，而结点4为K形结点，它要求 两斜杆的轴力性质相反。由 于上述两种结论是茅盾的，因而可以判定：,如果结点4上也作用有竖向荷 载，则可以利用两斜杆内力 相等的特点，由结点4的平衡 条件：,求出两杆的轴力：,如果将作用于结点6上的荷载 改为竖直向上，且大小不
8、变。,则桁架处于反对称的受力状态，这时应有：,结合结点平衡的特殊情况(2),可以判定：,例3-10 求图示桁架各杆的轴力。,解：求支座反力。,分解为对称和反对称两种情况。,对称情况,反对称情况,对称情况下：,由铰B知：,取结点D：,取结点A：,取结点G：,反对称情况下：,桁架内力反对称。,由结点G知：,由结点E知：,取结点D：,取结点A：,将对称和反对称两种情况下的杆件轴力 进行叠加，即得原桁架杆件的轴力。,3-4-2 截面法,应注意：,选择恰当的截面和适宜的平衡 方程，尽量避免方程的联立求 解。,利用刚体力学中力可沿其作用 线移动的特点，按照解题需要 可将杆件的未知轴力移至恰当 位置进行分解
9、，以简化计算。,例3-11 求图示桁架中a、b和c三杆的内力。,解：求支座反力。,取截面-左边。,取截面-左边。,得：,当所截各杆件中的未知力数目超过3个时：,例如：求图示桁架AB杆的内力。,例如：求图示桁架杆 a 的内力。,截面法中的特殊情况,当所作截面截断三根以上的杆件 时：,当所作截面截断 三根以上的杆件 时：如除了杆 1 外，其余各杆均 互相平，则由投 影方程可求出杆 1轴力。,如除了杆1外，其余各杆均交于一点O则对O点列矩方程可求出杆1轴力。,1,1,同一结点的所有内里为未知的杆中，除一杆外，其余各杆均共线，则该杆为该结点的单杆,试指出零杆,意义：简化计算,例题,问题：能否去掉零杆?
10、,试指出零杆,例题,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,A,B,C,D,关于零杆的判断桁架中的零杆虽然不受力，但却是保持结构几何不变所必需的。因为桁架中的载荷往往是变化的。在一种载荷工况下的零杆，在另种载荷工况下就有可能承载。如果缺少了它，就不能保证桁架的几何不变性。分析桁架内力时，如首先确定其中的零杆，这对后续分析往往有利。,对称性的利用,一、对称荷载作用下内力呈对称分布。,对称性要求：,N1=N2,由D点的竖向平衡要求,N1=N2,所以 N1=N2=0,对称轴上的K型结点无外力作用时，其两斜杆轴力为零。,N,N,1,杆1受力反对称,=0,=0,与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零,（注
11、意：该特性仅用于桁架结点）,二、反对称荷载作用下内力呈反对称分布。,与对称轴重合的杆轴力为零。,分解为对称反对称,剩余部分为隔离体,3-4-3 截面法和结点法的联合应用,例3-12 求图示桁架中a、b和c三杆的内力。,解：取截面-左 边部分,并取结点K为 隔离体。,再根据-左边部分的平衡 条件Fy0，有：,取截面-左边部分为隔离体。,3-4-4 各类梁式桁架的比较,简支梁,M0图,平行弦桁架,弦杆的内力表达式为：,抛物线形桁架,弦杆的内力表达式为：,弦杆的内力表达式为：,三角形桁架,3-4-5 杆件替代法,基本思路：通过杆件(包括支座链杆)之间的替代，简化桁架的几 何构造，然后再使简化后桁架的
12、内力恢复到原结构的 状态。,撤除支座C链杆,代之增设链杆DE,得简单桁架。,因实际结构并不存在DE杆,所以C支 座真实的反力应使：,解得：,桁架内力图,3-5 组合结构,三铰组合屋架,悬吊式桥梁,计算步骤：求支座反力；计算各链杆的轴力；计算受弯杆件的内力。,不要遗漏受弯 杆件的剪力。,例3-13 分析图示组合结构的内力。,解：求支座反力。,计算各链杆的轴力。,取截面-右部为 隔离体。,再通过结点D和E的平衡条件,求得其余链杆的内力。,受弯杆件AC和CB的内力可利用隔离体平衡条件求 得。更简捷的方法是直接运用力学基本概念进行分 析：因DE杆与受弯杆平行，链杆DF和EG又与之垂 直，可判定受弯杆全
13、长受轴向压力90kN。,例3-13 分析图示组合结构的内力。,例3-13 分析图示组合结构的内力。,例3-14 计算图示组合结构中链杆的轴力,并作出受弯杆的M图。,再考虑HBF部分对F点的力矩平衡,有：,M图,FN,若将铰F的位置上移,则结构的受力状态不再对称。,可将刚片EAG和HBF视作链杆,将链杆GH视作刚片,然后按三刚 片问题进行求解;即用m-m截断形成无穷远处虚铰的链杆CH和EG,由 刚片对虚铰(,)和刚片、联合体对虚铰(,)的力矩平衡 方程联立解得以上两链杆的轴力,问题便可以得到解决。,其中,EAG部分的弯矩可根据虚拟链杆EG的轴力,按图3-55c求得。,3-7 静定结构的一般性质,
14、3-7-1 静定结构的几项特性,温度变化、支座位移、材料收缩和制造误差等非荷载因素不引起静 定结构的反力和内力。,平衡力系作用于静定结构中某一几何不变或可独立承受该平衡力系 的部分上时,则只有该部分受力,其余部分的反力及内力均为零。,平衡力系作用于静定结构中某一几何不变或可独立承受该平衡力系 的部分上时,则只有该部分受力,其余部分的反力及内力均为零。,当作用于静定结构中某一几何不变部分上的荷载作等效变换时,则 只有该部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均不变。,当作用于静定结构中某一几何不变部分上的荷载作等效变换时,则 只有该部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均不变。,注意：当发生荷
15、载等效变换的局部为内部几何可变时,则上述结论 一般不再适用。,静定结构中的某一几何不变部分作构造改变时,其余部分的反力和 内力均不变。,3-7-2 零载法,静定结构满足平衡条件解答的惟一性,可用于判定计算自由度W=0的体系的几何属性。换言之,对于W=0的体系,满足平衡条件的解 是否惟一,是判定该体系是否几何不变的充分条件。,检查W=0的体系满足平衡条件的解答是否惟一时,可以任取一种 荷载形式,一般取荷载为零最方便,因而称为零载法。即对W=0的体系 当荷载为零时,若体系的反力和内力必定为零,则体系是几何不变的;若体系的部分反力和内力可以有非零值,则体系是几何可变的。,几何不变,几何不变,几何可变
16、,几何可变,例3-16 用零载法证明图示组合拱桥结构的几何不变性。,解：求计算自由度。,当无荷载作用时,若位于中央的CC杆内力为零,则可依次根据两杆 铰结点的平衡特性推知,体系中所有两杆均无内力存在,并进而可知桥面 梁中亦无内力。为判定体系内力是否可能有非零解,先假定CC杆受压,由C铰的竖向平衡可知,与C相连的其余两链杆必定也受压,因拱链中与各铰相连的三根链杆中,都有一根位于竖直方向,所以构成拱链的各杆内 力的水平分力必定相同,而且均为受压。由此可推定CC 杆之外的所有 竖向链杆也均受压力。这样,ACB部分在零荷载条件下是无法平衡的。若假定CC杆受拉,按照同样的理由可推知体系无法满足平衡条件。由此就证明了当荷载为零时,体系的反力和内力必定为零。所以,该体系是几何不变的。,例3-17 用零载法判别图示体系的几何构成属性。,解：计算自由度W=0。,当荷载为零时,只能判定其中四根杆件为零杆,无法断定其余杆件 的内力是否为零。,设左上斜杆受拉力X,由平衡条件可求得各链杆和支杆中的内力如 图所示。这些反力和内力可以满足所有的平衡条件,说明体系在零荷载下可以有非零解存在,所以该体系是几何可变的。,
