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1、,杨辉三角基本性质,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,这个表就称为杨辉三角,杨辉三角的简介,杨辉,杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。杨辉三角的发现要比
2、欧洲早500年左右。,杨辉三角基本性质,1、杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等。,对称,2、第n行的数字个数为n-1个，n行数字和为：y,杨辉三角基本性质,+,+,+,3、数字等于上一行的左右两个数字之和。,杨辉三角基本性质,A、表中每行两端都是1。,B、除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。,4+6=10,杨辉三角基本性质,4、杨辉三角的第2k行中第k+1个数最大；第2k1行中第是k个数与第k+1个数相等且最大。,假设2k=6，,f（r）,2k+1为奇数行；如2k+1=7,3和4时取得最大值。,4、杨辉三角的第2k行中第k+1个数最大；第2k1行中第是k个数与第
3、k+1个数相等且最大。,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1,5、每一行的第二个数，可以构成一个等差数列。,杨辉三角基本性质,杨辉三角基本性质,6、每一行的第三个数等于上一行的第三个家行数减一。,与数字11的幂的关系,斜行和水平行之间的关系,n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和,（a+b)1=（a+b)2=（a+b)3=（a+b)4=（a+b)5=（a+b)6=,1a+1b,1a2+2ab+1b2,1a3+3a2b+3ab2+1b3,1a4+4a3b+6a2b2
4、+4ab3+1b4,1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5,1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,与二项式展开系数的关系,（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1,斐波那契数列,1,1,2,3,5,8,换一角度“斜”向看：斜线的和依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，a1=1,
5、a2=1,a3 2，有：an=an-1+an-2(n3),第2k行的数字特征,所有数的和是偶数,第 行的数字特征,第 行所有数之和为 的平方2,行数整除所有的数,第5行,第7行,第3行,第 2行,都是质数,行数为质数的数都能被行数整除,弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（AJ区奖品最好，BI区奖品次之，CH区奖品第三，EF 区奖品最差）。,在弹球游戏中的应用,杨辉三角的实际应用,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系?,A,图1,问：纵横各有五条路呢？,B,结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案(6)一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,A,B,1,1,1,1,1,2,3,3,6,A,B,D,C,A,B,
