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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,第5行 1 5 5 1,第0行1,杨辉三角,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1,15,1
2、5=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,二项式系数前半部分是逐渐增大的，后半部分是逐渐减小的，中间项取得最大值。,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令，则：,启示：在二项式定理中a,b可以取
3、任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法。,同时由于，上式还可以写成：,这是组合总数公式,思考:证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。,例题：,例题：,求：,小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解,思考：,思考:求证：,1.(1x)13 的展开式中系数最小的项是()(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项,C,练习：,证明：,倒序相
4、加法,思考.在(3x+2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数最大的项;,r=8,例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,典型例题,课堂练习：1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,小结,作业：,1、课本37页 第8题（书上）2、练习册2627页,
