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1、第一章计数原理,1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,长沙县一中高二数学备课组,二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？,45,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,复习回顾,计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表,对称性,详解九章算法中记载的表,杨 辉,杨辉三角,每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴：,（2）增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,由：,可知，当 时，,二项式系数是
2、逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,（2）增减性与最大值,（3）各二项式系数的和,例1.证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,典例赏析,2n,2n-1,赋值法,在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；,跟踪练习1,解设(2x3y)10a0 x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数的和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数
3、和.,(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；,解令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.,解令xy1，得到a0a1a2a101，,得2(a1a3a9)1510，,(4)奇数项系数和与偶数项系数和；,令x1，y1(或x1，y1)，,得a0a1a2a3a10510，,得2(a0a2a10)1510，,(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.,例2：在(3x+2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数最大的项.,(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则,典例赏析,跟踪练习2,1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)是项展开式的第r项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.(),2.(2015湖北)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.29 B.210 C.211 D.212,则奇数项的二项式系数和为2n129.故选A.,A,(1)二项式系数的三个性质,(2)数学思想：函数思想,a 单调性；,b 图象；,c 最值.,小结：,THANKS,
