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1、1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一),复习提问,1.二项式定理的内容,右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；,2.二项式系数:,3.二项展开式的通项Tk+1=,针对(a+b)n的标准形式而言,(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为:,4.在定理中，令a=1，b=x，则,观察猜想,展开式的二项式系数有什么变化规律？二项式系数最大的是哪一项？,为了研究它的一般规律，我们先来观察n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？,你知道这是什么图表吗？,新课引入,详解九章算法记载的表,杨辉 三角,杨辉,以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这
2、个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,观察：从图中你能得出哪些性质？,思考：会证明这些性质吗？,探究,a).表中每行两端都是1。,b).除1外的每一个数都等 于它肩上两个数的和。,4+6=10,当n不大时，可用该表来求二项式系数。,总结提炼1:,对称,总结提炼2:,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大,当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大,知识探究3:,增减性的实质
3、是比较 的大小.,所以 相对于 的增减情况由 决定,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,还有没有其他解释呢？,最大项与增减性,可以看成以r为自变量的函数f（r），其定义域是0,1,n。,函数角度：,知识探究3:,当n=6时，二项式系数（0r6）用图象表示：,图象法解释,f（r）,n为奇数；如n=7,n为偶数；如n=6,关于r=n/2对称,r=3和r=4时取得最大值,图象法解释,n是偶数时，中间的一项 取得最大值；,当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值。,总结提炼3:,知识探究4:,二项式系数求和：,启示：在二项式定
4、理中a,b可以取任意数或式子，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法。,令a=b=1，则,在（a+b）nCn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+Cnran-rbr+Cnnbn,证明:,进一步思考:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。,还有没有其他思考方法呢？,赋值法,例2,已知求:(1)；(2)；(3);(4),小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值
5、，然后解方程组整体求解,思考1求证:,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由 得,思考2求证：,证明：,倒序相加法,知识对接测查3,2.求证：,证明：,倒序相加法,类型：求展开式中系数最大的项,方法:利用通项公式建立不等式组,思考3在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;,（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）r=5.,1.研究斜行规律,创新与联想,2.研究杨辉三角与斐波那契数列的关系,1.研究斜行规律：,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上
6、：,第四条斜线上：,猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于,1+1+1+1+1+1=6,1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20,1+4+10=15,第m+1条斜线上的第n个数.,111 1（第1条斜线）,1410（第4条斜线）,136（第3条斜线）,123（第2条斜线）,(nr),?,结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数,即,根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1
7、6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;,这就是著名的斐波那契数列。,杨辉三角的其它规律,第0行1,1、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行1,1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的各个数字都是奇数（质数的积）,第0行1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行1,1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,2、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是,质数(素数),
