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1、附录D 极限与连续,x,y,1,1,1.5,2.5,2,4,讨论当x无限趋近于2时,函数 的变化趋势.,1).x从2的左边(x2)无限趋近于2:,0.00004,0.0004,0.004,0.04,0.39,1.75,|y-4|,3.99996,3.9996,3.996,3.96,3.61,2.25,1.99999,1.9999,1.999,1.99,1.9,1.5,x,从表和图象都可以看出:,当自变量x从x轴上表示2的点的左边无限趋近于2时,o,一、讲授新课：,1.当xx0时,函数f(x)的极限:,x,y,2,4,2).x从2的右边(x2)无限趋近于2:,0.00004,0.0004,0.0
2、04,0.04,0.41,2.25,|y-4|,4.00004,4.0004,4.004,4.04,4.41,6.25,2.00001,2.0001,2.001,2.01,2.1,2.5,x,从表和图象都可以看出:,当自变量x从x轴上表示2的点的右边无限趋近于2时,2.5,从上面两种情况来看,当x无限趋近于2时,因此,称为当x无限趋近于2时,函数 的极限为4.,记作:,o,再讨论当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数 的变化趋势.,所以,当x无限趋近于1(但不等于1)时,y的值无限趋近于2.,记作:,例1、当 时,写出下列函数的极限:,解:,(4)y=5是常数函数,函数值始终等于常数5.有函数
3、极限的 定义,容易得到,一般地,设C为常数,则,例2、写出下列极限的值：,1）从表示 的点的左边无限趋近于；,2）从表示 的点的右边无限趋近于；,3）从表示 的点的两侧交错地无限趋近于；,总之，不管以哪种方式趋近，,2.函数的左右极限:,x,当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数,无限趋近于-1；,当x从原点O的右侧无限趋近于0时,函数,无限趋近于1.,由于x从不同方向无限趋近于0时,所无限趋近的值不同,所以,在x=0处无极限.,即,考虑到函数,但是,如果限制x只能从原点O的某一侧无限趋近于0,函数,就会无限趋近于一个确定的常数.,比如:,由此,我们得到单侧极限的定义.,由函数在一点处的左、右
4、极限定义可知,对于函数,根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义,可以得出,例：写出下列函数的左右极限，并判断哪些函数 在x=0处有极限？,类似的给出无穷极限的定义:,如果=a,且=a,那么就说当 x 趋向于无穷大时,的极限是a,记作,那么如何求?,观察该极限与上题极限之间存在关系吗?,函数极限运算法则：,事实上我们有,也就是说：如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为0）。,注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在.,（C为常数）,由 不难得到：,注：使用极限四则运
5、算法则的前提是各部分极限必须存在.,同样有 函数极限运算法则：,利用函数极限的运算法则，我们可以根据已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函数的极限.,用上面的运算法则可求：,例4、求,解:,解：,通过例1、例2同学们会发现：函数f（x）在 处有定义;求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析式中，就得到极限值.-代入法,分析：当 分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运算法则。因为当 时函数的极限只与x无限趋近于4的函数值有关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的极限.,例6、求,解：,例7、求,例8、求,解：,总结：,通过例7、例8会发现：函数f（x）在 处无定义；求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，若用代入法，分子分母都为.,例8、求,例7、求,解决办法：可对分子分母因式分解，约去为0的公因式来求极限-因式分解法,解决办法：可先有理化分子，再约去为0的公因式来求极限-根式有理化法,练习：求下列函数的极限：,例10、已知,解：,
