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1、一 标量场的等值面,一个标量场可用一个标量函数来表示。直角坐标系中，标量函数 可表示为,方程 随着 的取值不同，给出一组曲面.这样的曲面称为标量场 的等值面.,（为任意常数）称为等值面方程.,如果某一标量物理函数 是两个坐标变量的函数，这样的场称为平面标量场.,称为等值线方程.,例1设点电荷 位于直角坐标系的原点，在它周围空间的任一点 的电位是,式中 和 是常数.试求等电位面方程.,解根据等值面的定义，令（常数）即得到等电位面方程,这是一个球面方程.,或,解根据等值面的定义，令（常数）即得到等电位面方程,二 方向导数,定义 就称为函数 在点沿 方向的方向导数.,物理意义 方向导数是函数 在给定
2、点沿某一方向对距离的变化率.在直角坐标系中，就是函数 沿三个坐标轴方向的方向导数.,为标量场 中的一点，从点 出发朝任一方向引一条射线 并在该方向上靠近点 取一动点，点 到点 的距离表示为.,根据多元函数的全增量的关系，有,直角坐标系中,式中 是 的方向余弦.,结论 直角坐标系中任意点上沿 方向的方向导数的表达式,例2求函数 在点 沿 方向的方向导数.,解,三 梯度,1.梯度的定义,定义 标量场 在点 处的梯度是一个矢量，记作,它的大小等于场在点 所有方向导数中的最大值，它的方向等于取到这个最大值所沿的那个方向.,grad,2.梯度的性质,（一）一个标量函数的梯度是一个矢量函数.,（二）函数 在给定点沿任意 方向的方向导数等于函数 的梯度在 方向上的投影.,（三）在任一点，标量场 的梯度垂直于过该 点的等值面.,单位法线矢量,3.哈密顿（Hamilton）算子,在直角坐标系中,4.梯度运算基本公式,例3 试证明,表示空间点 和 点之间的距离。符号 表示对 微分，即,解,所以,所以,
