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1、,87 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,方向导数与偏导数的关系、,三元函数的方向导数,梯度与方向导数、,梯度的模、方向导数的最大值,等高线、,梯度与等高线的关系,三元函数的梯度、,等量面,数量场与向量场、,势与势场,一、方向导数,设函数zf(x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义自点P引射线 l 设 x 轴正向到射线 l 的转角为j，并设P(xx，yy)为 l 上的另一点且P U(P),若此极限存在，则称此极限为函数 f(x，y)在点P 沿方向 l 的方向导数，,记作，即,其中r,，,r,定理 如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l 的
2、方向导数都存在，且有,方向导数与偏导数的关系：,=cos j+sin j，,其中j为x 轴到方向l 的转角,简要证明：,f(xx，yy)f(x，y),定理 如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且有,方向导数与偏导数的关系：,=cos j+sin j，,其中j为x 轴到方向l 的转角,简要证明：,f(xx，yy)f(x，y),讨论函数 zf(x，y)在点P 沿x 轴正向和负向，沿 y 轴正向和负向的方向导数如何?,讨论：根据公式,=cos j+sin j,提示：沿x 轴正向时，cos j=1，sin j=0，,沿x 轴负向时，cos j
3、=-1，sin j=0，,；,=cos j+sin j,=cos j+sin j，,例1 求函数zx e 2y在点P(1，0)沿从点P(1，0)到点Q(2，1)的方向的方向导数,因此 x 轴到方向,因为,l 的转角为j,e 2y，,2x e 2y,故所求方向导数为,在点(1，0)处，1，2,1cos()2sin(),x轴到射线l 的转角为j，,x 轴到 的转角为q，,讨论：jq 和j q 时的方向导数,解 因为,sin q,cos q，,所以,cos q cos j sin q sin j cos(qj),其中r，xr cos a，yr cos b，,对于三元函数uf(x，y，z)，定义它在空
4、间一点P(x，y，z)着方向(设方向的方向角为a、b、g)的方向导数如下,，,zr cos g,如果函数在所考虑的点处可微分，有,=cos a sin b cos g,三元函数的方向导数：,二、梯度,设函数zf(x，y)在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于任一点P(x，y)D 及任一方向l，有,称为函数f(x，y)在点P 的梯度，记作grad f(x，y)，即,grad f(x，y),=cos j+sin j,，cos j，sin j，,其中向量,梯度与方向导数：,=cos j sin j,，cos j，sin j,函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而
5、它的模为方向导数的最大值,讨论：已知方向导数为,的最大值是什么？,结论：,梯度的模：,|grad f(x，y)|,=cos j sin j,曲面z f(x，y)上的曲线,等高线：,在xOy面上的投影曲线f(x，y)c称为函数zf(x，y)的等高线,梯度与等高线的关系：,等高线 f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为,法线的方向向量是什么？,函数zf(x，y)在点P(x，y)的梯度的方向与过点P的等高线 f(x，y)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向,梯度与等高线的
6、关系：,等高线 f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为,三元函数的梯度：设函数uf(x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数，对于每一点P(x，y，z)G，函数 uf(x，y，z)在该点的梯度grad f(x，y，z)定义为：,结论：,三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向,导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值,等量面：曲面 f(x，y，z)c为函数uf(x，y，z)的等量面 函数uf(x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P 的等量面 f(x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在
7、这个法线方向的方向导数,例3 求grad,解 这里 f(x，y),因为,，,，,所以 grad,例4 设f(x，y，z)x2y2z2，求grad f(1，1，2),解 grad f fx，fy，fz 2x，2y，2z，于是 grad f(1，1，2)2，2，4,如果与点M相对应的是一个向量(M)，则称在这空间区域G,如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量 f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定,数量场与向量场：,内确定了一个向量场(例如力场、速度场等)一个向量场可用一,个向量函数(M)来确定，而,其中P(M)，Q(M)，R(M)是点M的数量函数,利用场的概念，我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场梯度场，它是由数量场f(M)产生的通常称函数f(M)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场,势与势场：,
