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1、第一讲正弦定理和余弦定理,重点难点重点：正余弦定理及三角形面积公式难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下解的讨论,知识归纳,3三角形中的常见结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC;sin cos；cos sin；tan cot.,4解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况：,在ABC中，已知a、b和A时解的情况如下：,误区警示1在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一
2、解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍2在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能3一般地，sinsin/，但在ABC中，sinAsinBAB.,一、判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边具体有如下四种方法：通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数值符
3、号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；注意：在ABC中，b2c2a20A为锐角，b2c2a20A为直角，b2c2a20A为钝角,二、解题技巧在ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosAcosB0.简证如下：C有解AB有解0cos(B)cosAcosBcosAcosB0.因此判断C是否有解，只须考虑cosAcosB的符号即可了解这一结论，对做选择题或填空题来说，将十分方便,例1在ABC中，sinA，cosB，求cosC.,例1在ABC中，已知a，b，B45，求角A、C和边c的值,点评：(1)已知两角和一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求
4、解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论这是易错的地方，也是常考查的地方,在ABC中，(1)若a4，B30，C105，则b_.(2)若b3，c，C45，则a_.,例2在ABC中，A、B、C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则B的范围是_分析：欲求角B的取值范围，可用余弦定理求cosB 的取值范围，利用条件a、b、c成等差可消去b，通过基本不等式可获解,答案：0B,在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c，b4，且BC边上的高h2.则(1)角C_；(2)a_.,答案：(1)60(2)5,例3在ABC中，a、b、c分别表示
5、三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状,解析：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)2a2cosAsinB2b2cosBsinA由正弦定理得，sin2AcosAsinBsin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0sin2Asin2B，由02A2，02B2得2A2B或2A2B，即ABC为等腰或直角三角形点评：得到式后也可用正余弦定理化角为边推证ab或a2b2c2.,根据所给条件，判断ABC的形状(1)若acosAbcosB，则ABC形状为_(2)若，则ABC形
6、状为_,解析：(1)由余弦定理得acosAbcosB a2c2a4b2c2b40，(a2b2)(c2a2b2)0a2b20或c2a2b20ab或c2a2b2ABC是等腰三角形或直角三角形,(2)由正弦定理得 即tanAtanBtanC，A、B、C(0，)，ABC，ABC为等边三角形答案：(1)等腰或直角三角形(2)等边三角形 总结评述：根据已知条件，适当选取使用的定理，化边为角或化角为边，边角互化是解决这类问题的基本途径.,在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.(1)求sinB的值；(2)若b4，且ac，求ABC的面积,分析：所给条件式为角的关系，又均为“二次”式，故化角为边后
7、可利用余弦定理寻求联系求解,答案：B,一、选择题1在ABC中，已知下列条件解三角形：A60，a，b1；A30，a1，b2；A30，c10，a6；A30，c10，a5.其中有唯一解的是()A BC D,答案B解析 11sin60.故有唯一解；2sin301，故有唯一解；10sin30610，故有两解；10sin305，故有唯一解,2(文)ABC的三边分别为a，b，c且满足b2ac,2bac，则此三角形是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案D解析2bac，4b2(ac)2，即(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.故选D.,(理)在ABC中，角A、B、C所对的
8、边分别为a、b、c，如果c a，B30，那么角C等于()A120 B105C90 D75答案A,3(文)(09浙江)设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A3B4C5D6答案B解析当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，本题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰好为1.故它与半径为1的圆最多有4个交点故选B.,答案C,点N在BC边的中线上，同理点N也在AB、AC边的中线上，点N是重心,答案D,(理)ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为0.5，那么b为(),答案C解析 acsinB，ac2，又2bac，a2c24b24，由余弦定理b2a2c22accosB得，b.,二、填空题5在ABC中，若sinAsinBsinC578.则B的大小是_答案,
