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1、第二章 概率6 正态分布,正态分布在统计学中是很重要的分布。前面我们讨论了离散型随机变量，它们的取值是可以一一列举的.人们感兴趣的是其分布列；但在实际应用中，还有许多随机变量不可以一一列举而是取某一区间中的一切值（连续型随机变量），通常我们感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。,问题:,某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变量X，它可以取大于等于0的所有数值.怎样描述这样的随机变量的分布情况呢？,？,？,？,设x表示产品的寿命（单位：h），如果我们对该产品有如下的了解：寿命小于500 h的概率为0.71，
2、寿命在500800 h之间的概率为0.22，寿命在800 1000 h之间的概率为0.07，这样我们可以画出大致的图像（见教材）图像比较简单，,分析:,例如它没有告诉我们寿命在200 400 h之间的概率.如果我们想了解更多，图中的区间会分的更细，为了完全了解产品的寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最总我们会得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数,记为f(x).,有了X 的分布密度曲线，则X取值于任何范围的概率都可以通过该曲线下相应部分的面积而算出.,正态分布密度曲线（简称正态曲线）,0,Y,X,“钟形”曲线,正态分步的分布密度函数解析式为
3、：,称X 的分布为正态分布.正态分布由参数m、s2唯一确定,m、s2分别表示正态分布的均值与方差.不同的 m、s2对应着不同的正态密度曲线。,一.正态分布定义,x,y,0,如果随机变量X服从正态分布，则记作：XN(m,s2)。（EX=m DX=s2）,函数 的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线。,二、正态曲线的性质,（1）函数图像关于直线x=对称.,（2）函数在x=时，取得最大值,（3）,具有两头低、中间高、左右对称的基本特征,（3）,0.5,1,2,一定,O,正态曲线的性质,越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.,正态曲线下的面积规律（重
4、要）,1、X轴与正态曲线所夹面积恒等于1,概率,2、对称区域面积相等,S(-x1,-x2),-x1-x2 x2 x1,S(x1,x2)=S(-x2,-x1),X=,特别地有（熟记）,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6，在 以外取值的概率只有0.3。,由于这些概率值很小（一般不超过5），通常称这些情况发生为小概率事件。,例1.某设备正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为：为了检查设备运行是否正常，质量检验员需要随机地抽取产品，测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g，他立即要求停止生产，检查设备.他的决定是否有道理呢？,m=500 g,s 2=1,解
5、 如果设备正常运行，产品质量服从正态分布.根据题意和正态分布的性质可知，产品质量在500-3=497 g和500+3=503 g之间的概率为0.997，而质量超过这个范围的概率只有0.003，这是一个几乎不可能出现的事件.但是检查员抽出了504 g的产品，说明设备的运行极可能不正常，所以检验员的决定是有道理的.,例2：在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从一个正态分布，即X N(90,100).（1）试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？,练习2.设两个正态分布N(1,)(10)和N(2
6、,)(20)的密度函数图象如 图所示,则有()A.12C.12,12,12解析 由正态分布N(,2)性质知,x=为正态密度函数图象的对称轴,故12.又越小，图象越高瘦,故12.,A,2、已知XN(0,1)，则X在区间 内取值的概率A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.0228,3、设离散型随机变量XN(0,1),则=,=.,D,0.5,0.954,4、若已知正态总体落在区间 的概率为0.5，则相应的正态曲线在x=时达到最高点。,0.3,5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是。,1,归纳小结,3 正态曲线的性质,（1）曲线关于直线x=对称.,（2）曲线在x=时位于最高点.,(3)当一定时，曲线的形状由确定.越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.,1 正态分布函数解析式：,2 正态曲线,
