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1、湍流模型及其在CFD中的应用,如果在静止的空气里，点燃一个火炬，并且燃料源源不断地供给，可以发现周围的气体会做强烈的湍流流动，同时这些气流的湍流流动会促使火焰愈烧愈旺。上述过程涉及流动、传热、传质和化学反应。提出问题：湍流对那些过程有影响？哪些因素又反过来影响湍流？,一个例子,一、湍流及其数学描述,1、湍流流动的特征 流体实验表明，当Reynolds数小于某一临界值时，流动是平滑的，相邻的流体层彼此有序地流动，这种流动称为层流（laminar flow）。当 Reynolds数大于临界值时，会出现一系列复杂的变化，最终导致流动特征的本质变化，流动呈无序的混乱状态。这时，即使是边界条件保持不变，
2、流动也是不稳定的，速度、压力、温度等流动特性都随机变化，这种状态称为湍流（turbulent flow）.,湍流流动的两个例子,Larger Structures,Smaller Structures,观测表明，湍流带有旋转流动结构，这就是湍流涡（turbulent eddies），简称涡（eddy）。从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺寸的涡叠合而成的流动，这些涡的大小和旋转轴的方向分布是随机的。大尺度的涡主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起低频脉动的原因；小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只是流场尺度的千分之一量级，是
3、引起高频脉动的原因。,湍流涡的特点,涡的生成与耗散,大尺寸的涡不断地从主流中获得能量，通过涡间相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡就不断消失，机械能就耗散为流体的热能。同时由于边界的作用，扰动及速度梯度的作用，新的涡又不断产生，构成了湍流运动。,对某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是均匀的、各向同性的，可以用经典的统计理论进行分析。但实际上，湍流是不均匀的。,湍流是流体力学中的难题,湍流的作用,由于湍流的存在，速度脉动量在流线方向的分量和垂直于流线方向的分量之间建立了关联量，它代表着一种横向交换通量，也可以认为是由于湍流流动引起的一种附加剪切应力影响动量的输
4、运过程。湍流的存在使传热和传质通量提高。由于湍流会促进这些基本过程，因此对某些物理现象就会产生强烈的影响，如，脉动过程的消衰、均相化学反应率的增加以及液滴蒸发的强化。,某些因素会影响湍流的形成。如，当湍流定性尺度和脉动强度非常小时，流体的粘度会直接影响当地的湍流度。当马赫（Mach）数达到5以上时，密度的脉动量与当地的湍流有密切的关系。强烈的化学反应、气流的旋转流动、颗粒的存在以及浮力或电磁场的作用，都会影响当地的湍流结构。,外界因素对湍流的影响,2、湍流的基本方程,无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和N-S方程对于湍流的瞬时运动仍然是适用的。在此，考虑不可压流动，使用笛卡尔坐标系，速度矢
5、量在x、y和z方向的分量分别为u、v和w，写出湍流瞬时控制方程如下：,(1),(2a),(2b),(2c),定义时均量,为了考察脉动的影响，目前广泛采用的是时间平均法，即把湍流运动看做由两个流动叠加而成，一是时间平均流动，二是瞬时脉动流动。这样，将脉动分离出来，便于处理和进一步探讨。现在，引入Reynolds平均法，任一变量的时间平均定义为：,(3),这里，上标“”代表对时间的平均值。如果用上标“、”代表脉动值，物理量的瞬时值、时均值 及脉动值之间的关系如下：,时均量与脉动量的关系,(4),现在用平均值和脉动值之和代替流动变量，即：,(5),将（5）代入瞬时状态下的连续性方程（1）和动量方程（
6、2），并对时间取平均，得到湍流时均流动的控制方程如下：,湍流时均流动的控制方程,(6),(7a),(7b),(7c),时均输运方程的统一形式,(8),以上是假设流体密度为常数；但是在实际流动中，密度可能是变化的。Bradshaw等指出，细微的密度变动并不对流动造成明显的影响在此，忽略密度脉动的影响，但考虑平均密度的变化，写出可压湍流平均流动的控制方程如下注意，为方便起见，除脉动值的时均值外，下式中去掉了表示时均值的上划线符号“”，如 用表示,密度脉动的影响,时均形式的连续方程,时均形式的N-S方程，又称 Reynolds时均N-S方程（简称RANS）,（9）,（10）,湍流输运方程组,标量的时
7、均输运方程,（11）,湍流输运方程组,张量形式的时均输运方程,（12）,（13）,（14）,二、湍流的数值模拟方法简介,1、三维湍流数值模拟方法的分类湍流数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程。非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理，例如前面提到的时均性质的 Reynolds方法就是其中的一种典型方法。根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。,2、直接数值模拟（DNS）简介,直接数值模拟方法就是直接用瞬时的N-S方程对
8、湍流进行计算，其最大的好处是无需对湍流流动做任何简化或近似，理论上能得到相对准确的计算结果。但是，DNS要求网格划分的非常细，对计算机内存空间及计算速度要求非常高，目前还无法用于真正意义上的工程计算。,3、大涡模拟（LES）简介,由于就目前的计算能力而言，能够采用的计算网格的最小尺度仍然比最小涡的尺度要大许多。因此，目前只能放弃对全尺度范围上涡运动的模拟，而只将比网格尺度大的湍流运动通过N-S方程直接计算出来，对于小尺度涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟，从而形成了大涡模拟法（LES）。,LES方法的基本思想,用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度的涡，而小涡对大涡
9、的影响通过近似的模型来考虑。LES方法对计算机内存及CPU速度要求仍然很高，但是低于DNS法。,4、Reynolds平均法（RANS）简介,虽然瞬时N-S方程可以描述湍流，但是N-S方程的非线性使得用解析方法精确描写三维时间相关的全部细节极端困难。从工程应用的观点来看，重要的是湍流所引起的平均流场的变化，是整体效果。Reynolds平均法的核心不是直接求解瞬时的N-S方程，而是想办法求解时均化的Reynolds方程，这样不仅可以避免DNS方法计算量大的问题，而且能够满足工程实践应用要求。Reynolds平均法是目前使用最广的湍流数值模拟方法。,Reynolds时均法分类,根据Reynolds应
10、力作出的假定或处理的方式不同，目前常用的湍流模型有两类：Reynolds应力模型和涡粘模型。,1）Reynolds应力模型Reynolds应力模型包括,Reynolds应力方程模型 代数应力方程模型,2）涡粘模型在涡粘模型中，不直接处理Reynolds应力项，而是引入湍流粘度（turbulent viscosity），或称湍流系数（eddy viscosity），然后把湍流应力表示成湍流粘度的函数，这个计算的关键在于确定这种湍流粘度。,Reynolds时均法分类,鲍瑟内斯克(Boussinesq)模型,最早的湍流数学模型，一百多年前提出的针对二维边界层问题把因湍流引起的、由脉动速度相关联的剪切
11、应力，模仿层流中以时间平均速度的梯度来表达，即建立了,（15）,这里，为湍流粘度，为时均速度，是“Kronecker delta”符号（），k为湍流动能（turbulent kinetic energy）：,（16）,Reynolds应力与平均速度梯度的关系,Boussinesq形式,在各向同性的前提下模仿层流输运，引入标量的各向同性湍流粘性（涡粘性）系数概念,湍流动力粘度t和湍流运动粘度t与层流中的和不同，后者是物性参数，由物质的分子决定的，而前者由流动特性所决定，依赖于流场中各点的湍流状态Boussinesq并没有直接建立起求解t和t的公式，但从式（15）中可以看出，t或t正比于速度的一种
12、值,湍流粘度的特点,（15）,Reynolds时均方程组通用形式,通用变量对各方程分别为1，vi，Ys，cpT等，e/为输运系数，为湍流Prandtl数或Schimidt数，et(+t)为有效粘性系数，t或t称为湍流粘性或涡流粘性系数，S为各方程源项。在各向同性假定的前提下，按照Boussinesq形式，湍流模型或湍流封闭的任务可归结为寻求t或t的表达式或者其输运方程,Boussinesq建立起式（15）后，关键问题变成如何求得t值，引导出各种求t的数学模型。这些模型分为两大类：早期提出的代数方程模型只能解释某些简单的流动模型普朗特于1925年提出的混合长度模型和冯卡门于1930年提出的相似律
13、假设模型微分方程模型,数学模型,零方程模型,一方程模型,两方程模型,所谓的涡粘模型，就是把t 与湍流时均参数联系起来的关系式。依据确定t的微分方程的数量的多少，涡粘模型包括：,目前两方程模型在工程中使用最为广泛，最基本的两方程模型就是标准k-模型，即分别引入关于湍流动能k和湍流耗散率的方程。此外，还有各种改进的k-模型，其中比较著名的是RNG k-模型和Realizable k-模型。,零方程模型,所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是用代数关系式，把湍流粘度与时均值联系起来的模型，它只用湍流的时均连续方程和Reynolds方程组成方程组，把方程组中的Reynolds应力用平均速度场的局部速度
14、梯度来表示。,（12）,（13）,混合长度模型的出发点,零方程中最著名的是Prandtl提出的混合长度模型（mixing length model）。该模型由两个类比的简单物理设想出发的。,1)层流粘性与湍流粘性的类比,2)时均运动与脉动的量纲对比,混合长度模型的出发点,由以上两个类比，混合长度模型的湍流封闭代数表达式（边界层问题中）,直接用平均量梯度代数表达式来模拟Reynolds时均方程组中未知的应力或热流、物质流关联项。lm由实验或直观判断加以确定。,混合长度模型的特点,例子：对边界层流动,对自由射流有：平面淹没射流圆淹没射流其中x为沿流动方向，b为射流宽度。lm与横向距离y或r无关对充
15、分发展管流有其中R为管半径，y为距管壁距离,例子：自由射流、充分发展管流,Von Karman给出公式,对浮力流动，如为稳定分层（Ri0），则有 其中,Ri 称为梯度Richardson数，为浮力梯度与速度梯度之比，lm0为无浮力时混合长度。17,例子：浮力流,对不稳定分层（Ri 0），则有 其中2=14浮力或Ri越大则lm越小或湍流粘性越小，即浮力消弱湍流湍流Prandtl数T或Schmidt数Y，由经验来确定,例子：浮力流,在浮力流中，浮力对T的影响可表达为,其中T0为无浮力时的湍流Prandtl数上式意味着浮力越大（Ri越大）则T越大或T及DT越小浮力的增大使湍流导热或湍流扩散减弱的程度
16、比使湍流粘性减弱的程度更厉害,例子：浮力流,优点：直观、简单，无须附加湍流特性的微分方程适用于简单流动，如射流、边界层、管流、喷管流动等。另外，研究历史较长，积累了很多经验。,缺点1：在 处必然是湍流粘性T为零，或剪力、热流、扩散流均为零与实际不符,通道内中心线处T按该理论为零栅网后方均匀流场中的T按该理论为零实际上，均不为零,混合长度模型的优缺点,混合长度模型相当于湍流能量达到局部平衡，即湍流的产生等于湍流的耗散，亦即认为湍流的对流（上游影响）和扩散（断面上的混合）均为零。缺点2：只有简单流动中才能给出lm的表达式。对复杂流动如拐弯或台阶后方有回流的流动，就很难给出lm的规律。,混合长度模型
17、的优缺点,湍流动能方程模型（单方程模型）,为了使Reynolds方程组封闭，对其中的关联项 等表征湍流特性的量继续写输运方程，其中的第一个就是Reynolds应力输运方程周培源先生在四十年代提出的推导应力输运方程的出发点是瞬态的N-S方程和时均Reynolds方程,推导方法1,写出瞬时速度分量vi及vj的NS方程将vj乘以vi的NS方程与vi 乘以vj的NS方程相加，得到vi vj的方程对上述方程进行Reynolds展开，取时平均，得到 的方程将时均速度 乘以 的Reynolds方程与 乘以 的Reynolds方程相加，得到 的方程上述两者相减，便得到 的方程,推导方法2,将瞬时速度vi的NS
18、方程与时平均速度 的Reynolds方程相减，得到 的方程用类似办法得到 方程将vj乘以vi的方程与vi 乘以vj的方程相加，再取时平均，便得到 的方程,N-S方程,右端浮力项按Boussinesq近似应为gi，此处用体膨胀系数,ik为粘性应力张量，由广义牛顿定律给出瞬时速度分量vj的N-S方程,vivj的输运方程,将vj乘以vi的NS方程与vi 乘以vj的NS方程相加，得到vi vj的方程,对上式进行Reynolds展开，即代入取时平均，并考虑,时均速度 乘以 的Reynolds方程加 乘以 的Reynolds方程，得到 的输运方程由 的输运方程减去 的输运方程，可得 到Reynolds应力
19、 输运方程的精确形式注意：其中这些项可以被消去,左端第一、第二项分别为随时间变化率及平均运动的对流，右端依次为湍流及分子扩散项、剪力产生项、浮力产生项、粘性耗散项及压力应变项,Reynolds应力诸分量中三个法向应力分量之和的一半称为湍流动能，即由上述Reynolds应力输运方程的一般形式，当取i=j，并忽略其中压力应变项，可得到湍流动能k的守恒方程的精确形式：,上式中左端两项分别为湍流动能随时间变化率及平均运动造成的湍流动能对流；右端第一项为各方向脉动，压强脉动及分子运动造成的湍流动能的输运，即湍流动能的湍流扩散再加上其分子扩散；右端第二项为湍流应力与平均速度梯度作用造成的湍流产生，即平均动
20、能和湍能间的转化；右端第三项为浮力造成的湍能产生（或销毁），即湍能与重力位能间的转化，或自然对流对湍流的影响；右端最后一项为湍能的粘性耗散,湍流脉动是一种能量，是总体动能（时均动能加脉动动能）的一部分服从一般输运定理或守恒定理有对流、扩散、产生及耗散有学者提出由求解湍流特性（包括湍能）的微分方程来确定湍流粘性，规定,所谓湍能方程模型或单方程模型封闭法，就是首先用模拟法封闭k方程，然后再由代数式给定l，从而使Reynolds时均方程组封闭k方程右端的二阶及三阶关联项未知精确形式的k方程不封闭需用模拟假设使三阶关联项降阶，并使二阶关联项表达为平均量的函数,基本思路受分子输运及混合长度模型的启发，用
21、梯度模拟取应力正比于速度梯度，质量流正比于浓度梯度，热流正比于温度梯度扩散项剪力产生项浮力产生项,对耗散项由量纲分析，取而因此有耗散项：,模拟后的k方程,其中已经广为应用的k方程，l仍需由经验式给定,边界层中湍能方程及其简化,无浮力的平面二维边界层流动，k方程可化为如果忽略非定常项、对流及扩散，取局部平衡关系，即令产生项等于耗散项，则有,由定义可知则可以写或由此得到 或上两个式子就是混合长度模型的表达式混合长度模型是单方程模型的极端情况，或其简化形式（忽视对流与扩散）,对单方程模型的评价,单方程模型克服了混合长度模型的不足，考虑了湍能经历效应（对流）及混合效应（扩散）但是要用单方程模型封闭，必
22、须预先给定l的代数表达式,单方程模型,在零方程模型中，湍流粘度 和混合长度lm都把Reynolds应力和当地平均速度梯度相联系，是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响。为了弥补混合长度假定的局限性，在使用湍流时均连续方程（12）和Reynolds方程（13）的基础上，再建立一个湍流动能k的输运方程，而 表示成k的函数，从而可使方程封闭。这里，湍流动能k的输运方程可写为：,（17）,方程中各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。,由Kolmogorov-Prandtl表达式，有：,（18）,其中，k，CD，C为经验常数，多数文献建议：k=1，C=0.09。而 CD 的取值在不同的
23、文献中结果不同，从0.08到0.38不等。但这个问题在后面要介绍的双方程模型中不存在。l为湍流脉动的长度比尺，依据经验公式或实验确定。,式（17）、（18）构成单方程模型，单方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方程模型更加合理。但是，一方程模型中如何确定长度比尺l仍为不易解决的问题，因此很难得到推广应用。,单方程模型中的湍流粘度,标准k-两方程模型,标准k-模型是在上面介绍的单方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率的方程后形成的。该模型是目前使用最广泛的湍流模型。,k双方程模型,湍流由各种不同尺寸的涡团所构成大涡团是脉动能量的主要携带者含能涡团小涡团为耗散涡团湍流涡团尺度是可以
24、输运的量各种涡团的输运及其间相互作用，涡团尺度在流场中也有对流、扩散、产生（小涡团的耗散生产大涡团）及耗散（大涡团拉伸成小涡团）,湍流尺度l的输运方程推广言之，对湍流粘性T=c k1/2lSpalding和Launder曾总结出一个广义的第二参量z=kmln，一般形式的z方程：,不同学者推荐的不同的z,其中k-双方程模型的应用及经受的检验最为普遍,标准k-模型的定义,在关于湍动能k的方程的基础上，再引入一个关于湍动耗散率的方程，便形成了k-两方程模型，称为标准k-模型（standard k-model）。在模型中，表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate）的被定义为
25、：,（19）,湍动粘度 可表示成k和的函数，即：,其中，C为经验常数。,原始的方程,与推导k方程类似设湍流各向同性，忽略某些各向异性部分，得到输运方程的原始形式，或有条件地称为的精确方程左端第一，第二项分别为时间变化率及对流，右端第一、第二、第三、第四项分别为湍流扩散、分子扩散、产生项（涡旋拉伸）及粘性耗散项,封闭后的方程,对扩散项采用梯度模拟由一般概念出发，设的产生和耗散正比于k的产生和耗散由量纲分析方程的源项可模拟为方程,在标准k-模型中，k和是两个基本未知量，与之相对应的输运方程为：,（20）,（21）,其中，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，Gb是由于浮力引起的湍动能k的产
26、生项，YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，C1、C2和C3为经验常数，k和分别是与湍动能k和耗散率对应的Prandtl数，Sk和S是用户定义的源项。,标准k-模型,Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，由下式计算：,（22）,Gb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，对于不可压流体，Gb=0。对于可压流体，有：,（23）,标准k-模型中的有关公式,Prt是湍动Prandtl数，在该模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数，可由可压流体的状态方程求出，其定义为：,（24）,YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，YM=0。对于可压流体，有：,（25）
27、,其中，Mt是湍流Mach数，,标准k-模型中的有关公式,在标准的k-模型中，根据Launder等的推荐值及后来的实验验证，模型常数 的取值为：,（26）,对于可压缩流体的流动计算中与浮力相关的系数C3，当主流方向与重力方向平行时，有C3=1，当主流方向与重力方向垂直时，有C3=0。,标准k-模型中的系数,根据以上分析，当流体为不可压，且不考虑用户自定义源项时，,（27）,（28）,这时，标准k-模型变为：,采用标准k-模型求解流动及换热问题时，控制方程包括连续性方程、动量方程、能量方程、k方程、方程与式（20）。若不考虑热交换的单纯流场计算问题，则不需要包含能量方程。如考虑传质或者有化学变化
28、的情况，则应再加入组分方程。这些方程都可以表示为下面通用形式：,（29）,若用散度符号，上式记为：,（30）,标准k-模型的控制方程组,标准k-模型的控制方程组,在将各变量的控制方程都写成式（30）所示的统一形式后，控制方程的离散化及求解方法可以得到统一，不同变量的区别仅在于扩散系数、广义源项及初值、边界条件这三方面。,标准k-模型的解法,1）模型中的有关系数，主要根据一些特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有出入。在数值计算的过程中，针对特定的问题，参考相关文献，寻求更合理的取值。,标准k-模型的适用性,2）上述k-模型，是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建
29、立的，是一种针对高Re数的湍流计算模型，而当Re数较低时，例如，在近壁区内的流动，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响可能不如分子粘性的影响大，在更贴近壁面的底层内，流动可能处于层流状态。因此，对Re数较低的流动使用上面建立的k-模型进行计算，就会出现问题。这时，必须采用特殊的处理方式，以解决近壁区内的流动计算及低Re数时的流动问题。使用上面的k-模型可能就会出现问题。常用解决方法有壁面函数法和低Re数的k-模型。,标准k-模型的适用性,3）标准k-模型比零方程模型和一方程模型有了很大改进，但是对于强旋流、弯曲壁面流动或弯曲流线流动时，会产生一定失真。原因是在标准k-模型中，对于Reynolds应
30、力的各个分量，假定粘度系数t是相同的，即假定t是各向同性的标量。而在弯曲流线的情况下，湍流是各向异性的，t应该是各向异性的张量。,标准k-模型的适用性,在RNG k-模型中，通过在大尺度运动和修正后的粘度项体现小尺度的影响，而使这些小尺度运动有系统地从控制方程中去除。所得到的k方程和方程，与标准k-模型非常相似：,（31）,（32）,RNG k-模型,其中，,（33）,RNG k-模型中的系数,RNG k-模型主要变化是：,1）通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋流流动情况；2）在方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变率Eij，这样，RNG k-模型中产生项不仅与流动情况有关，而且
31、在同一问题中也还是空间坐标的函数。从而，RNG k-模型可以更好处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动。,RNG k-模型与标准k-模型的比较,需要注意的是，RNG k-模型仍针对充分发展的湍流是有效的，是高Re数的湍流计算模型，而对近壁区内的流动及Re数较低的流动，必须使用下面将要介绍的壁面函数法或低Re数的k-模型来模拟。此外，需要说明一点，在FLUENT手册中，将RNG k-模型所引入的反映主流的时均应变率Eij的一项，归入了方程中的C2系数中，且表达式多了一个系数C，而不像这里归入C1系数。这两种处理方式实质上是一样的。,RNG k-模型,标准k-模型对时均应变率特别大的情况，有可能导致
32、负的正压力。为使流动符合湍流的物理定律，需要对正应力进行某种数学约束。为保证这种约束的实现，认为湍流粘度计算式中的系数C不应是常数，而应与应变率联系起来。从而，提出了Realizable k-模型。这里，Realizable有“可实现”的意思。,Realizble k-模型,（34）,（35）,其中，,（36）,Realizble k-模型形式,式中，与 C按下式计算：,（37）,（38）,Realizble k-模型中的系数,（39）,其中，,Realizble k-模型中的系数,上面的 是从角速度k为参考系中观察到的时均转动速率张量，显然对无旋转的流场，上式中 计算式根号中的第二项为零，这
33、一项是专门用以表示旋转影响的，也是本模型的特点之一。,Realizble k-模型中的系数,湍流粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转和曲率有关的内容。方程发生了很大变化，方程中的产生项不再包含有k方程中的产生项Gk，这样，现在的形式更好地表示了光谱的能量转换。方程中的倒数第二项不具有任何奇异性，即使k值很小或为零，分母也不会为零。这与标准k-模型和RNG k-有很大区别。,Realizble k-模型与标准k-模型,Realizable k-模型已被有效地用于各种不同类型的流动模拟，包括旋转均匀剪切流、包含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层流动，以及带有分离的流动等。,Realizb
34、le k-模型适用性,在近壁区使用k-模型的问题,k-模型都是高Re数的湍流模型，可是，在近壁区内的流动，Re数较低，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响不如分子粘性的影响大，湍流应力几乎不起作用，这样在这个区域内就不能使用前面的k-模型就行计算，必须采用特殊的处理方式。下面介绍：壁面函数法和低Re数k-模型。,一是不对粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层）进行求解，而是用一组半经验公式（即壁面函数）将壁面上的物理量与湍流核心区内的相应物理量联系起来，这就是壁面函数法。另一种途径是采用低Re数k-模型来求解粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层），这时要求在壁面划分比较细密的网格。越靠近壁面
35、，网格越细。这两种方法都可与标准k-模型和RNG k-模型等配合，成功地解决近壁区及低Re数情况下的流动计算问题。,解决这个问题有两个途径,壁面函数法（wall functions）实际是一组半经验公式，用于将壁面上的物理量与湍流核心区内待求的未知量直接联系起来。它必须与高Re数k-模型配合使用。壁面函数法的基本思想是：对于湍流核心区的流动使用k-模型求解，而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来。这样，不需要对壁面区内的流动进行求解，就可直接得到与壁面相邻控制体积的节点变量值。,壁面函数法,在壁面区，流体运动受壁面流动条件的影响比较明显，壁面区
36、可分为三个子层：1）粘性底层2）过渡层3）对数律层,近壁区流动特点,粘性底层是一个紧贴固体壁面的极薄层，其中粘性力在动量、热量及质量交换中起主导作用，湍流切应力可以忽略，所以流动几乎是层流流动，平行于壁面的速度分量沿壁面法线方向为线性分布。过渡层处于粘性底层的外面，其中粘性力与湍流切应力的作用相当，流动状态比较复杂，很难用一个公式或定律来描述。由于过渡层厚度极小，所以在工程计算中通常不明显划出，归入对数律层。对数律层处于最外层，其中粘性力的影响不明显，湍流切应力占主要地位，流动处于充分发展的湍流状态，流速分布接近对数律。,三层的特点,为了用公式描述粘性底层和对数律层内的流动，引入如下无量钢参数
37、，分别表示速度和距离：,（40）,（41）,其中，u是流体的时均速度，u是壁面摩擦速度，w是壁面切应力，y是到壁面的距离。,公式描述,当 时，所对应的区域是粘性底层，这时速度沿壁面法线方向呈线性分布，即：,当 时，流动处于对数律层，这时速度沿壁面法线方向呈对数律分布，即：,其中，为Karman常数，B和E是与表面粗糙有关的常数，对于光滑壁面有=0.4，B=5.5，E=9.8，壁面粗糙度的增加将使得B值减小。,注意，上面给出各子层的 分界值，只是近似值。有的文献介绍 对应于对数律层。有的文献推荐将 作为粘性底层与对数律层的分界点。,1）动量方程中变量u的计算式,当与壁面相邻的控制体积的节点满足
38、时，流动处于对数律层，此时的速度up为,（42）,推荐 按下式计算,（43）,此时的壁面切应力 w满足如下关系：,（44）,式中，up是节点p的时均速度，kp是节点p的湍动能，yp是节点p到壁面的距离，是流体的动力粘度。,当与壁面相邻的控制体积的节点满足 时，控制体积内的流动处于粘性底层，此时的速度up由层流应力应变关系 决定。,能量方程以温度T为求解未知量，为了建立计算网格节点上的温度与壁面上的物理量之间的联系，定义新的参数T+如下：,（45）,式中，Tp是与壁面相邻的控制体积的节点p处的温度，Tw是壁面上的温度，是流体密度，Cp是流体的比热容，qw是壁面上的热流密度。,能量方程中温度T的计
39、算式,壁面函数法通过下式将计算网格节点上的温度T与壁面上的物理量相联系：,（46）,3）湍动能方程与耗散率方程中的k和的计算式 在k-模型和后面的RSM模型中，k方程是在包括与壁面相邻的的控制体积内的所有计算域上进行求解，在壁面上湍动能k的边界条件是：,（47）,其中n是垂直于壁面的局部坐标。,在与壁面相邻的控制体积内，构成k方程源项的湍动能产生项Gk，及耗散率，按局部平衡假定来计算，即在与壁面相邻的控制体积内Gk 和都是相等的。从而，Gk按下式计算：,（48）,按下式计算,（49）,注意，在与壁面相邻的控制体积上是不对方程进行求解的，直接按式（49）确定节点的。,由上分析可见，针对各求解变量
40、（包括平均流速、温度、k和）所给出的壁面边界条件均由壁面函数考虑到了，所以不用担心壁面处的边界条件。,上述壁面函数法是FLUENT选用的默认方法，它对各种壁面流动都非常有效。相对于后面要介绍的低Re数k-模型，壁面函数法计算效率高，工程实用性强。而采用低Re数k-模型时，因壁面区（粘性底层和过渡层）内的物理量变化非常大，因此，必须使用细密的网格，从而造成计算成本的提高。当然，壁面函数法无法象低Re数k-模型那样得到粘性底层和过渡层内的“真实”速度分布。,但是壁面函数法也有一定的局限性，当流动分离过大或近壁面流动处于高压之下时，则此方法不是很理想。为此，FLUENT还提供了非平衡的壁面函数法及增
41、强的壁面函数法。,低Re数k-模型,上面介绍的壁面函数法的表达式主要是根据简单的平行流动边界层的实测资料而归纳出来的，同时，这种方法并未对壁面区内部的流动进行“细致”的研究，尤其是粘性底层内，分子粘性的作用并未有效地计算。为了使基于k-模型的数值计算能从高Re数区域一直进行到固体壁面上（Re为零），许多学者提出了对高Re数k-模型进行修改的方案。这里介绍Jones和Launder提出的低Re数k-模型。,1）为体现分子粘性的影响，控制方程的扩散系数项必须同时包括湍流扩散系数与分子扩散系数两部分。2）控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响，即在系数计算公式中引入湍流雷诺数Ret，这里 3）在k
42、方程中应考虑壁面附近湍动能的耗散不是各向同性这一因素。,低Re数的流动主要体现在粘性底层，流体的分子粘性起着绝对支配地位，因此必须对高Re数k-模型进行三方面修改，才能使其用于计算各种Re数的流动：,低Re数k-模型的输运方程,（50）,（51）,式中，,（52）,n代表壁面法向坐标，u为与壁面平行的流速。在实际计算中，方向n可近似取为x、y和z中最满足条件的一个，速度u也做类似处理。式中“”所围部分就是低Re数k-模型区别于高Re数k-模型的部分。,系数f1，f2，fu的引入，实际上等于对标准k-模型中系数C1、C2和C进行的修正，计算如下：,（53）,显然，当Ret很大时，f1，f2和fu
43、均趋于1。,在上述方程中，除了对标准k-模型中有关系数进行修正外，Jones和Launder的模型中在k和的方程中还各自引入了一个附加项。k方程（50）中的附加项 是为了考虑在粘性底层中湍动能的耗散不是各向同性的这一因素而加入的。,（50）,k方程的附加项,在高Ret的区域，湍动能的耗散可以看成是各向同性的，而在粘性底层中，总耗散率中各向异性部分的作用逐渐增加。方程（51）中的附加项 是为了使k的计算与某些实验测定值符合的更好而加入的。,（51）,方程的附加项,在使用低Re数k-模型进行流动计算时，充分发展的湍流核心区及粘性底层均用同一套公式计算，但由于粘性底层的速度梯度大，因此在粘性底层的网
44、格要密。建议当局部湍流的Ret数小于150时，就应该用低Re数k-模型，而不能使用高Re数k-模型进行计算。,Reynolds 应力方程模型（RSM）,上面介绍的各种两方程模型都采用各向同性的湍流粘度来计算湍流应力，这些模型难于考虑旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响。为了克服这些缺点，有必要直接对Reynolds方程中的湍流脉动应力直接建立微分方程式并进行求解。建立Reynolds应力的方程有两种：一是Reynolds应力方程模型，二是代数应力方程模型。,1、Reynolds应力输运方程,（54）,方程中第一项为瞬态项，其他各项依次为：Cij：对流项DT,ij：湍动扩散项DL,ij：分子粘性
45、扩散项Pij：剪应力产生项Gij：浮力产生项ij：压力应变项ij：粘性耗散项Fij：系统旋转产生项,上式各项中，Cij、DL,ij、Pij和Fij均只包含二阶关联项，不必进行处理。可是，DT,ij、Gij、ij和ij包含有未知的关联项，必须象前面构造k方程和方程的过程一样，构造其合理的表达式，即给出各项的模型，才能得到真正有意义的Reynolds应力方程。,1）湍动扩散项DT,ij的计算,可通过Daly和Harlow所给出的广义梯度扩散模型来计算,（55）,但是有的文献认为该式可能导致数值上不稳定，推荐下式,（56）,式中，t是湍动粘度，按标准k-模型中 来计算，系数k=0.82，注意该值在R
46、ealizable k-模型中为1.0。,2）浮力产生项Gij的计算式,（57）,其中，T是温度，Prt是能量的湍动Prandtl数，在该模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数。对于理想气体，有：,（58）,如果流体是不可压的，则Gij=0。,3）压力应变项ij的计算,压力应变项ij的存在是Reynolds应力模型与k-模型的最大区别之处，由张量的缩并原理和连续方程可知，kk=0。因此，ij仅在湍流各分量间存在，当 时，它表示减小剪切应力，使湍流趋向于各向同性；当 时，它表示使湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响。可见，此项并不产生脉动能量，仅起到再分
47、配作用。因此，有的文献称此项为再分配项。,（59）,其中，ij,1是慢的压力应变项，ij,2是快的压力应变项，ij,w是壁面反射项。,ij相对普遍的形式,ij,1计算式如下：,（60）,这里，C1=1.8。ij,2计算式如下：,（61）,这里，C2=0.60。Pij的定义见式（54），P=Pkk/2。,（62）,这里，C1=0.5，C2=0.3，nk是壁面单位法向矢量的xk分量，d是研究的位置到固体壁面的距离，其中C=0.09，k是Karman常数，k=0.4187。,壁面反射项 ij,w负责对近壁面处的正压力进行再分配。它有使垂直于壁面的应力变弱，而使平行于壁面的应力变强的趋势。,耗散项表示
48、分子粘性对Reynolds应力产生的耗散。在建立耗散项的计算公式时，认为大尺度涡承担动能输运，小尺度涡承担粘性耗散，因此小尺度涡团可以看成是各向同性的。即认为局部各向同性。依照该假设，耗散项可最终写成：,（63）,最后，综合上面各计算方程，得到封闭的Reynolds应力输运方程。,4）粘性耗散项ij的计算,（64）,2、RSM的控制方程组及其解法,在上述得到的Reynolds应力输运方程中，包含湍动能k和耗散率，为此，在使用RSM时，需要补充k和的方程如下：,（65）,（66）,式中，Pij是剪应力产生项，根据式（54）计算。Gij是浮力产生项，根据（57）或（58）计算，对于不可压流体，Gi
49、j=0。是湍动粘度，按下式计算：,（67）,最后，可以通过SIMPLE等算法进行求解。,取值分别为：,为常数。,C3是与局部流动方向相关的一个数，当主流方向与重力方向平行时，有C3=1，当主流方向与重力方向垂直时，有C3=0,3、对RSM适用性的讨论,与标准k-模型一样，RSM也属于高Re数的湍流计算模型，在固体壁面附近，由于分子粘性的作用，湍流脉动受到阻尼，Re数很小，上述方程不再适用。因此，必须采用壁面函数法，或低Re数的RSM来处理近壁面区的流动计算问题。关于低Re数的RSM，其基本思想是修正高Re数RSM中耗散函数（扩散项）及压力应变重新分配项的表达式，以使RSM模型方程可以直接应用到
50、壁面上。,由上述方法建立的对压力应变项等的计算公式可以看出，尽管RSM比k-模型应用范围更广，包含更多的物理机理，但它仍有很多缺陷。计算实践表明，RSM虽能考虑一些各向异性效应，但并不一定比其他模型效果更好，在计算突扩流动分离区和计算湍流输运各向异性较强的流动时，RSM优于双方程模型，但对于一般的回流流动，RSM的结果不一定比k-模型要好。,另一方面，就三维计算而言，采用RSM意味着要多求解6个Reynolds应力的微分方程，计算量大，对计算机的要求高。因此，RSM不如k-模型应用更广泛，但是RSM是一种更有潜力的湍流模型。,八、代数应力方程模型（ASM）,由于RSM过于复杂，计算量大，有许多
