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1、用药计划的制定模型摘要本文就用药计划的制定问题建立了房室模型，我们根据药剂在血液中的浓度的减少速率与浓度成正比，比例系数（）称药物的排出常数，通过微分方程，求出了相应时间的减少量，通过房室模型。考虑到当血液中药剂浓度低于浓度时无效，所以要及时用药。所以当第二次用药时，一定有药剂剩余在体内，剩余量为，这也影响了第二次用药时体内的总量为，根据公式，我们求出了第二次用药后，血液中剩余的浓度。每一次用药后，体内药剂的剩余会不断变化，我们通过讨论和时间间隔的关系，得出了体内药剂的剩余量随用药次数增加的三种关系。通过在日常生活中的判断比例系数（）不可能为零或负数，时间间隔也不可能为负数或零。所以我们排出了
2、两种关系，进而得出了药剂在体内的剩余量是不断增加的。在药物在低于浓度时无效，高于浓度H时有害的情况下，计算一次用药后时间间隔最长时，我们根据单次用药在血液中产生的浓度C(t)（，毫克/毫升）随时间的延长降低，最后药物从体内消失的情况和结合问题（2）中的结论相应的做出了回答。因为每一次用药后体内都会有剩余，我们根据能够合理的利用剩余量和给患者用药方便制订了按时用药计划。关键字 房室模型 微分方程 药剂剩余 按时用药 问题重述问题背景：在药理学中，开多少剂量的药以及确定用药间隔是一个十分重要的问题对大多数药物，浓度低于一定程度是无效的，而浓度高于一定程度则会发生危险 单次用药在血液中产生的浓度()
3、（，毫克/毫升）随时间的延长降低，最后药物从体内消失，如图所示 图问题要求：如何确定药剂量及用药间隔（，小时），使得药物浓度在每个间隔中一直保持在最低有效浓度与最高安全浓度之间根据临床验证，药剂在血液中的浓度的减少速率与浓度成正比，比例系数（）称为药物的排出常数 问题提出：（）根据图所示的用药方式，建立药物浓度随时间变化的数学模型若在小时给病人第次用药，药剂量为,小时后，血液中药物的剩余浓度为多少？ （）若以后每隔时间都给病人用剂量为的药物，即在 小时第次用药，在小时第3次用药，LL则在第次用药小时后，血液中药物的累积剩余浓度为多少？当用药次数不断增加时，药物的累积剩余浓度将如何变化？ （）药
4、物在低于浓度时无效，高于浓度时有害，根据问题()的结论确定最长的用药间隔，使得药物在血液中具有安全有效浓度 （）给定，.5和.，请制定一个用药计划（用药剂量与用药间隔）. 问题分析针对问题一，根据临床验证，药剂在血液中的浓度的减少速率与浓度成正比，比例系数（）为药物的排出常数和图所示的用药方式，建立药物浓度随时间变化的数学模型针对问题二，由于药剂在体内的最低有效浓度为（），第一次用药后当浓度达到最低有效浓度时，在第二次开始用药，此时体内中的药剂为第一次用药后剩余的和第二次用药之和。以此类推药剂在体内的剩余量会不断增加，则在第2次用药T小时后，根据公式求出血液中药物的累积剩余浓度。在通过公式求出
5、第次用药针对问题三，根据问题(2)的结论随着用药次数不断增加药剂在体内的剩余量不断增加，必定会有第a次注射时，剩余药剂在体内的剩余量加上新注射的量在有害浓度附近。所以我们以剩余药剂在体内的剩余量加上新注射的量正好等于有害浓度时，再到药物浓度减少到最低有效浓度时，再注射下一次药物，从浓度到浓度时的时间间隔正是我们要求的最大时间间隔。 针对问题四，因为为药物在体内由用药后到减少到最低浓度时，因为最高安全浓度为为与最低有效浓度为.5只相差.5。如果不能有效的利用这剩余的.5，那么会造成很大的浪费，又考虑到最高安全浓度为，所以建立房室模型，3 模型假设() 药剂在血液中的浓度的减少速率只与浓度成正比，
6、不受身体其它因素的影响。()机体分为中心室和周边室，两个室的容积（即血液体积或药物分布容积）在(过程中保持不变。(只有中心室与体外有药物交换，即药物从体外进入中心室，最后又从中心室排出体外。与转移和排出的数量相比，药物的吸收可以忽略。4符号说明符号符号说明药剂量药间隔（，小时）最低有效浓度最高安全浓度药剂在血液中的浓度的减少速率与浓度比例系数（）小时后药剂浓度第二次注射后开始时的浓度小时后药剂浓度小时后药物减少的浓度小时后药剂浓度时间间隔用药计划用药量在第个时刻体内剩余药剂的浓度计划用药时的时间周期5模型建立与求解5.问题一5. 模型建立由于药剂在血液中的浓度的减少速率与浓度成正比，比例系数（
7、）为药物的排出常数并且根据图一我们也能分析出 药剂在血液中的浓度是不断减少的。对一只数据分析可知：-通过分析先求出药剂在血液中的浓度的减少速率，再求出小时后药剂浓度减少量，进而判断出小时后药剂在体内的浓度。5. 模型求解 用MAA求微分方程的解（见附录）由 - 得 当时，小时后药剂浓度减少量 (1)小时后药剂浓度为 (2)5.问题二5.2.1 模型建立药物进入机体后，在随血液输运到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外。根据对问题的分析我们建立了房室模型中的二室模型，即将集体氛围血液较丰富的中心室（包括心、肺、肾等器官）和血液较贫乏的周边室（四肢、肌肉组织等）。药物的动
8、态过程在每个房室内是一致的，转移只在两个房室之间以及某个方式与体外之间进行。药剂在血液中的浓度的减少速率 -解得图2中心室用药周边室要的吸收药物 排出给药 5.2.2 模型求解第一次注射小时后药剂的浓度 - (3)第二次注射后此时浓度 + - (4)此时根据 - 小时后药剂浓度减少量 (-) (5)小时后药剂浓度为 - -(-) +- (6)当用药次数不断增加时，在第个时刻体内剩余药剂的浓度 (+)(-)根据()(-)，因为+ 是恒大于零的，所以我们只对对-进行讨论得出药剂在体内剩余的浓度变化情况。 ()当-, 药剂在体内的剩余量是不断增加的。计算-,得K,由 K时可知， K或的数值符号均是正
9、数，由药剂在血液中的浓度的减少速率与浓度成正比，并且比例系数为（），所以 为正数很符合实际情况，是给病人两次用药的时间间隔，所以必须为正数，当K时这个式子是成立的。也就是药剂在体内的剩余量是不断增加的。() 当-,药剂在体内的剩余量是不断减少的。计算-,得 K由K可知，K或的数值符号是相反的，由药剂在血液中的浓度的减少速率与浓度成正比，并且比例系数为（），所以 不可能为负数，是给病人两次用药的时间间隔，所以也不可能为负数，所以说 这个式子是不成立的。也就是药剂在体内的剩余量不可能是是不断减少的。用药吸收剩余量（随着用药次数的增加而减少）药物 排出给药（3）当-,即时，药剂在体内是没有剩余量的。
10、计算-=得 由可知，K或的数值符号必定由一个为零，由药剂在血液中的浓度的减少速率与浓度成正比，并且比例系数为（），如果为零时药物就不会被吸收了，用药也就无意义了，所以 是不可能为零。是给病人两次用药的时间间隔，如果为零时，就要不间断的给病人用药，这种情况只有在急救时才能出现，而对于大众化的用药这种情况是不现实的，我们不予考虑，所以也不可能为零，所以说K= 这个式子是不成立的。也就是说在保证使得药物浓度在每个间隔中一直保持在最低有效浓度与最高安全浓度之间时药剂在体内的剩余量不可能为零。用药吸收（无剩余）给药药物 排出通过对（1）（2）（3）三种情况的分析显然可知K和都不能等于零或有一个小于零，所
11、以（2）（3）这两种情况是不可能出现的。根据（1）可知药剂在体内的剩余量是不断增加的。5.3 问题三5.3.1 模型建立药物在低于浓度时无效，高于浓度时有害。通过对第二问的解答，随着用药次数不断增加药剂在体内的剩余量也会不断增加，必定会有在第次注射时，剩余药剂在体内的剩余量加上新注射的量构成新的总量在最高有害浓度附近。所以我们以剩余药剂在体内的剩余量加上新注射的量正好等于有害浓度时，再到药物浓度减少到最低有效浓度时，再注射下一次药物，从浓度到浓度时的时间间隔正是我们要求的最大时间间隔。给药剩余量（随着用药次数的增加而增加）用药吸收药物 排出 5.3.2 模型求解当药剂浓度为时， 根据 小时后药
12、物减少的浓度 (7)小时后药剂浓度为 - 令 即 - - 即 （8）求解得 所以使得药物在血液中具有安全有效浓度，要求的最大时间间隔 5.4 问题四5.4. 模型建立因为为药物在体内由用药后到减少到最低浓度时，因为最高安全浓度为为与最低有效浓度为.5只相差.5。如果不能有效的利用这剩余的.5，那么会造成很大的浪费，又考虑到最高安全浓度为，所以建立房室模型，先给药，通过被周边室吸收剩余后，剩余的又回到中心室与新用的药剂合成新的用药，然后再被周边室吸收利用，再剩余再吸收，按一定的时间间隔循环。吸收给药周边室中心室剩余 药物 排出 5.4. 模型求解第一次用药量为最大用药量，当用药量减少到.5时所用
13、的时间为。在第二次用药时，因为第一次在体内剩余.5，所以第二次用药时加上第一次剩余的浓度不能高于用药量的最大用药量，根据模型的建立可知用药后达到最大用药量 +.5 . 减少量 （9） 所用时间 4.384 根据求解从第二次用药开始以后每隔都用药一次。这样不仅从分的发挥了药物的作用，而且还确定了用药时间，给患者节省了医药费，同时又能让患者按时吃药。6模型评价与推广6.模型的缺点： (1)本论文从做题就用了较多的假设，如在进药时就忽略了进药的时间，在转移的过程中不考虑损失，如果假设太多会导致解题的准确性有所下降。(2)忽略了人体温度以及内环境对药物的吸收速率等因素。(3) 在实际生活中，给药给为肌
14、肉注射、口服、静脉注射，在此模型中没有进行详细考虑肌肉注射、口服、静脉注射的区别。而是认为药物已经溶解到血液中来求解的。6.模型的优点：(1)本模型简明易懂，具有良好的通用性，建立了使用广泛的房室模型，分为两个房室，是问题简单化。很好的描述了药物在体内的变化规律，在一定间隔内给药后能够准确的预测出不同时间的药物浓度，从而控制药物浓度保持在一定范围内。（2）建立的数学模型算法简便，容易理解，具有很高的推广价值。（3）从论文中可以看出公式和图形很好的有机结合在一起，使复杂的问题很好用图论展示出来，使论文很容易的被读懂和理解6.3模型的推广：此题较理性的解决了在医学方面的问题，药效在不失的情况下可以使病人更好的合理进药，模型还可以推广到新药的研制、剂量的确定、给药方案的设计、临床医学的发展、化学以、饲养补给、方面。参考文献姜启源 谢金星 叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，3。赵 静 但 琪 ，数学建模与实验， 北京：高等教育出版社，3。3周开利 邓春晖，MAA基础及其应用教程，北京：北京大学出版社，7。附录一 用MAA求微分方程的解 ydsov(Dyk*y,x) y *xp(k*x)9
