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1、1,第2章 优化设计李旻编写,2,2.1 概述 优化设计是借助最优化设计数值计算方法和计算机技术，求取工程问题最优设计方案的方法。对工程问题进行优化设计一般要进行两项工作。第一是将实际问题抽象地用数学模型来描述，包括选择设计变量，确定目标函数，给出约束条件；第二是对数学模型进行必要的简化，并采用适当的最优化方法求解数学模型。,3,2.2 优化设计数学模型 2.2.1 设计变量和设计空间 设计变量是表达设计方案的一组基本参数。如几何参数：零件外形尺寸、截面尺寸，机构的运动学尺寸等；物理参数：构件的材料、截面的惯性矩、固有频率等；性能导出量：应力、应变、挠度等。设计变量是对设计性能指标好坏有影响的
2、量，应在设计过程中选择，并且应是互相独立的参数。,4,全体设计变量可以用向量来表示，包含n个设计变量的优化问题称为n维优化问题，这些变量可表示成一个n维列向量,式中，xi（i1，2，3，n）表示第i个设计变量。当xi的值都确定之后，向量x就表示一个设计方案。,5,一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称设计点。所有设计点的集合则构成一个设计空间。,（a）（b）图2-1 二维平面与三位空间,设计变量个数称为自由度，自由度就越大，可供选择的方案就越多，优化的难度就越大，计算的程序也越复杂，计算量也越大。,6,2.2.2 约束与可行域 在优化设计中，为了得到可行的设计方案，也必须根据具体要求，给设计
3、变量加上种种限制，这就是约束条件。根据约束的特性，可分为：（1）边界约束：直接用来限制设计变量的取值范围，如长度、重量的变化的范围，可直接获得。（2）根据某种性能指标要求推导出来的限制条件，如对应力、变形、振动频率、机械效率等性能指标的限制或者运动参数如位移、速度、加速度的限制等。这些约束可根据设计规范中的设计公式或通过力学分析导出的约束函数来表示。,7,一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称设计点。所有设计点的集合则构成一个设计空间。,约束条件可表示成如下形式：（1）不等式约束,，,（2）等式约束,8,满足所有约束条件的方案点的集合称为可行区域，简称可行域，用D表示。可行域内的方案点称为可
4、行方案点，简称可行点（或内点），否则称为不可行方案点（或外点）。当方案点位于某个不等式约束的边界上时，称为边界点。,图2-2 线性约束的可行域,9,图2-3 可行域与可行点,10,2.2.3 目标函数与等值线 目标函数是用于评价设计方案好坏的函数，又称为评价函数。目标函数是用设计变量来表示的优化目标的数学表达式，通常表示为,求解优化问题的实质就是通过改变设计变量，获得不同的目标函数值，通过比较目标函数值的大小来衡量方案的优劣，从而找出最优方案。目标函数的最优值可能是最大值，也可能是最小值，在建立优化问题的数学模型时，一般将目标函数的求优表示为求极大或极小。为规范起见，将求目标函数的极值统一表示
5、为求其极小值。,11,图2-4 二维目标函数的等值线,图2-5 旋转抛物面的等值线与极值点,12,2.2.4 优化设计的数学模型 优化设计问题的数学模型可表述为：在满足约束条件的前提下，寻求一组设计变量，使目标函数达到最优值。一般约束优化问题数学模型的基本表达方式为,13,14,15,2.3 优化方法数学基础2.3.1 梯度与方向导数1梯度,偏导数,梯度向量,16,方向导数,17,18,19,2.3.2 多元函数的泰勒展开式,20,一阶泰勒近似展开式,二阶泰勒近似展开式,在优化设计中，经常根据上式把目标函数近似地表示成二次函数以使问题得到简化。,21,22,2.3.3 二次型与正定矩阵如果n元
6、二次函数中只含有变量的二次项，则称为二次齐次函数，或二次型，记为,23,矩阵A正定与否可以通过以下方法判别。如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式都大于零，则矩阵A为正定矩阵。即,如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式的符号负正相间，即所有奇数阶主子式都为负，所有偶数阶主子式都为正，则矩阵A为负定矩阵。如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式的符号变化不符合以上两种规律，则矩阵A为不定矩阵。,24,2.3.4 无约束优化的极值条件,25,26,2.3.5 凸集、凸函数与凸规划,27,（a）（b）（c）图2-6 凸集与非凸集 图2-7 一元凸函数图像,28,29,30,2.3.6 有约束优化的极值条件,（a）
7、b）图2-8 目标函数与约束函数都是凸函数的极值问题,31,（a）（b）图2-9 目标函数与约束函数不全是凸函数的极值问题,32,对于约束优化问题，不仅需要判断约束极值点存在的条件，还要判别所找到的极值点是可行域内的全局最优点，还是局部最优点。显然，后一问题更复杂，而且至今仍没有统一而有效的判别方法。库恩塔克（Kuhn-Tucker，简称K-T）条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，它适用于含有等式约束和不等式约束的一般非线性规划问题，是确定迭代点 为极值点的必要条件，对于凸规划问题来说它同时也是充分条件。,33,34,使用K-T条件时，需要注意以下两点：（1）满足K-T条件的点是约束极
8、值点，不一定是全局最优点。但是对凸规划问题来说，K-T条件不仅是确定约束极值点的必要条件，也是确定全局最优点的充分条件，并且凸规划问题的K-T点是唯一的。（2）拉格朗日乘子向量不一定唯一。,35,（a）（b）图2-10 二维优化问题只有一个起作用约束的极值情况,36,（a）（b）图2-11 二维优化问题有两个起作用约束的极值情况,37,（a）b）图2-12 多维优化问题有约束的极值情况,38,39,图2-13 例2-5图,40,2.3.7 数值迭代算法,图2-14 一维搜索最小值点,41,（a）求无约束最优解的迭代过程（b）求约束最优解的迭代过程图2-15 二维优化问题的数值迭代求解过程示意图
9、,42,数值迭代计算常用的终止准则有以下三种。（1）点距准则。,（2）函数值下降量准则。,或,（3）梯度准则。,43,2.4 一维搜索法,一维搜索是多维搜索的基础。求解一维优化问题首先要确定初始的搜索区间，然后再求极小值点。一维优化方法可分为两类：直接法：按某种规律取若干点计算其目标函数值，并通过直接比较目标函数值来确定最优解；间接法：即解析法，需要利用导数。,44,2.4.1 搜索区间的确定,搜索区间应当包含有目标函数的极小值点，而且应当是单峰区间，即在该区间内目标函数只有一个极小值点。下凸单峰函数的性质：在极小值点左边，函数值应严格下降。在极小值点右边，函数值应严格上升。,45,单峰区间,
10、46,进退法一般分两步：一是初始探察确定进退，二是前进或后退寻查。,图2.16 前进运算,47,48,图217 后退运算,49,50,2.4.2 黄金分割法,黄金分割法是利用区间消去法的原理，通过不断缩小单峰区间长度，即每次迭代都消去一部分不含极小值点的区间，使搜索区间不断缩小，从而逐渐逼近目标函数极小值点的一种优化方法。黄金分割法是直接寻优法，通过直接比较区间上点的函数值的大小来判断区间的取舍，这种方法具有计算简单，收敛速度快等优点。,51,根据上述方法，可在新搜索区间里再取两个新点比较函数值来继续缩小区间，但这样做效率较低，应该考虑利用已经计算过的区间内剩下的那个点。,图2-18 搜索区间
11、缩小的示意图,52,2.黄金分割法（0.618法）,53,图2-19 黄金分割法原理,54,55,2.4.3 二次插值法,二次插值法是多项式逼近法的一种。它在目标函数 的搜索区间内，利用三点的函数值构造二次插值多项式来近似代替一维寻优的复杂目标函数，然后用该插值函数的最优解近似代替目标函数的近似最优解，并结合区间消去的原理，按照一定规律缩短区间，并在新区间内重新构造三点二次插值多项式，再求其极值，如此反复，直到满足一定精度要求时停止迭代计算。,56,图2-20 二次插值法原理,57,58,图2-20 二次插值法原理,59,（a）（b）图2-21 二次插值法的区间缩短示意图,60,图2-21 二
12、次插值法的区间缩短示意图,61,2.5.1 最速下降法,图2-22 最速下降法的搜索方向,2.5 无约束多维优化算法,62,63,图2-23 最速下降法的锯齿现象,64,2.5.2 牛顿法,图2-24 牛顿法求解一维问题的示意图,65,写成迭代形式，有,66,67,从牛顿方向的构造可知，对于正定二次函数，牛顿方向就是指向其极小值点的方向。因此用牛顿法求解目标函数为正定二次函数的无约束最优化问题，只需一次迭代就可得最优解。对于目标函数是非二次函数的无约束最优化问题，一般来说，用牛顿法通过有限轮迭代并不能保证可求得最优解。但由于目标函数在最优解附近能近似于二次函数，因此当取接近于最优解的初始点使用
13、牛顿法求解时，其收敛速度一般是较快的。可以证明在初始点离最优解不远的条件下，牛顿法是二次收敛（通过有限次迭代能求出二次函数的极小值）的。但是当初始点选得离最优解太远时，牛顿法并不一定是收敛的方法，甚至连其下降性也很难保证。,68,为了解决初始点与最优解可能相差较远的问题，可采用修正的牛顿法（广义牛顿法），其迭代公式为：,即第k步取,进行一维寻优,牛顿法和修正的牛顿法最大的缺点是要计算二阶偏导数矩阵H，并要求H的逆矩阵，因此该方法的计算工作量很大。,69,2.5.3 变尺度法,变尺度法是在牛顿法的基础上发展起来的，又称为拟牛顿法，目前被公认为求解无约束优化问题最有效的方法之一。牛顿法中H1的计算
14、复杂，变尺度法则设法构造出一个对称正定矩阵Ak来代替H1，并在迭代过程中使Ak逐渐逼近H1，这样简化了运算，又保持了牛顿法收敛快的特点。变尺度表示空间坐标的尺度变换。,70,71,72,73,2.5.4 共轭梯度法,74,图2-25 共轭方向 图2-26 共轭梯度法的搜索路线,75,共轭梯度法通过函数的梯度来构造共轭方向。鉴于最速下降法在远离极值点时很有效，而经过几步搜索后，尤其在极值点附近，收敛速度显著减慢等特点，而共轭方向具有二次收敛的优点，于是便形成了先沿负梯度方向搜索第一步，然后沿与该负梯度方向相共轭的方向进行搜索，具有二次收敛性、能迅速达到最优点的共轭梯度法。,76,图2-26 共轭
15、梯度法的搜索路线,77,78,2.5.5 共轭方向法和Powell法,共轭梯度法利用共轭方向寻优，而且除第一次外的每次搜索都是沿共轭方向进行，在构造每次搜索方向（第一次为负梯度方向，以后各次为共轭方向）时，都需计算函数的梯度。共轭方向法和Powe11法则只需计算目标函数值即可直接求出用于搜索的共轭方向。,79,图2-27 共轭方向法,80,图2-27 共轭方向法,81,共轭方向法的主要缺点是更换方向后所产生的n个矢量有可能是近似线性相关的，即这些矢量接近于平行。这样就会出现维数退化的现象，导致只能找到局部最优解，有可能使真正的全局最优解漏掉。,图2-27 共轭方向法,82,Powell法,83
16、,84,85,86,坐标轮换法属于直接法，基本思想是把含有n个变量的优化问题轮换地转化为单变量（其它变量视为常量）的优化问题，即沿某个坐标轴方向进行一维搜索的问题。,2.5.6 坐标轮换法,图2-29 坐标轮换法搜索过程,87,88,坐标轮换法的原理虽然简单，但适用性较差。对图（a）所示等值线为正椭圆的目标函数，效果很好；对见图（b）所示等值线为斜椭圆的目标函数，搜索次数会大大增加；而对图（c）所示等值线存在脊线的目标函数，甚至会无法执行后续搜索。,图2-30 坐标轮换法的局限性（a）效果很好（b）效果较差（c）搜索无法进行,89,单纯形法是利用对简单几何图形各顶点的目标函数值作相互比较，在连
17、续改变几何图形的过程中，逐步以目标函数值较小的顶点取代目标函数值最大的顶点，从而进行求优的一种方法，属于直接法之一。单纯形法的理论性不强，它只需要计算函数值，无须求导，编程工作量较小。单纯形法的基本操作内容为：反射、扩张或压缩。,2.5.7 单纯形法,图2-31 单纯形法的反射、扩张或压缩,90,图2-31 单纯形法的反射、扩张或压缩,91,图2-31 单纯形法的反射、扩张或压缩,92,图2-32 构成新的、更小的单纯形,93,94,2.5.8 优化方法比较,95,由于实际工程优化设计问题较复杂，而优化算法各有各的特点，如何针对具体问题合理选择优化方法则成了一个很重要的问题。一般说来，要对复杂
18、问题的优化方法选择得很好是不容易的。通常认为；牛顿法在收敛的条件下，其迭代次数少于变尺度法，变尺度法的迭代次数又少于共轭梯度法，而共轭梯度法的迭代次数又少于共轭方向法及Powell法，而后者的迭代次数又少于单纯形法、最速下降法和坐标轮换法。但是从计算程序的复杂程度来看，恰好与这一次序相反。因此，在实际运用中若能把几种方法结合起来，充分发挥各种方法的长处，回避其短处，则会收到较好的结果。总之，在选择优化方法时要根据求解问题的性质和优化方法的特点来进行合理选择，也要看是否有现成的程序可使用。,96,约束最优化问题的求解方法有以下两大类：（1）间接解法。将约束问题转换成为无约束问题进行最优化求解。包
19、括：消元法、拉哥朗日乘子法、增广拉哥朗日乘子法、罚函数法等。（2）直接解法。在可行域内选取各点的目标函数作比较，找到最小点，包括：随机验法、随机向搜索法、复合形法、可行方向法等。,2.6 有约束多维优化算法,97,2.6.1 可行方向法,98,华南理工大学机械与汽车工程学院,98,图2-33 可行方向及可行条件,99,100,图2-34 可行方向法的搜索路线,101,102,复合形法是目前求约束优化问题的一种重要的直接法，它是无约束最优化问题中单纯形法的推广。其基本思想是：在可行域内选取k个点作为初始复合形的顶点，然后比较这些顶点的目标函数值，目标函数值最大的点为最坏点。接着确定目标函数值的下
20、降方向，在此方向上求一既能使目标函数值有所下降，而又满足所有的约束条件的新点，以代替最坏点而构成一个新的复合形。如此重复计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至达到要求的收敛精度为止。,2.6.2 复合形法,103,图2-35 复合形法的原理 图2-36 xc为不可行点,104,拉格朗日乘子法是将约束优化问题转化为无约束优化问题求解的一种间接算法。转化的方法是把约束优化问题的拉格朗日函数作为目标函数构成新的无约束优化问题，新的目标函数的无约束最优解和原约束优化问题的最优解一致。这种算法既可用于求解不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优化问题。,2.6.3 拉格朗日乘子法,105,华南理工
21、大学机械与汽车工程学院,105,1求解等式约束优化问题,106,107,华南理工大学机械与汽车工程学院,107,108,108,2求解不等式约束优化问题,109,109,110,2.6.4 外点惩罚函数法,111,112,113,114,外点惩罚函数法的步骤,115,华南理工大学机械与汽车工程学院,116,117,118,119,2.6.5 内点惩罚函数法,120,121,122,123,123,内点惩罚函数法的步骤,124,华南理工大学机械与汽车工程学院,124,125,126,2.7 多目标优化,127,2.7.1 统一目标法,128,129,130,2.7.2 协调曲线法,（a）P和Q点是最优点（b）协调曲线 图2-40 协调曲线,131,图2-41 满意曲线与两目标协调情况,
