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1、,Mechanics of Theory 理论力学,第二章 空间简单力系,2023年1月9日,第二章 空间简单力系,2-1 力的投影合力投影定理,2-2 空间汇交力系合成与平衡条件,2-3 力对点之矩和力对轴之矩,2-4 力偶和力偶矩（矢量）,2-5 空间力偶系合成与平衡条件,作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。,空间汇交力系,空间力偶系,空间汇交力系与空间力偶系习惯上称为空间简单力系，它们是研究复杂力系的基础，,空间任意力系,一、力的投影,1.一次投影法,（2-1）,2.二次投影法,(2-2),(2-3),如果力F在x，y，z三轴上的投影Fx，Fy和Fz为已知，则
2、可求得力F的大小和方向余弦为,(2-4),力在坐标轴上的投影为代数量与力的分量为矢量是两个不同的概念。,当力F的作用线位于xy平面内时，,Fz=0，此时空间力投影成为平面中力的投影：,合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。即,二、合力投影定理,(2-5),证明：,解：,例2-1 图示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F的作用。已知斜齿轮的齿倾角（螺旋角）和压力角，试求力F在x、y、z轴上的投影。,一、空间汇交力系合成与平衡的几何法（矢量法）,1.平面汇交力系合成的几何法,FR1=F1+F2,b,c,e,d,FR2=FR1+F3,FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4,合力的表达式：
3、,各力矢首尾相接，形成一个开口的多边形，称为力多边形。由开口的力多边形始点指向终点的封闭边为合力。合力的作用点仍在力系的公共作用点上。,力的多边形法则,改变力多边形中的各力顺序，合力的大小和方向、作用点不变。,2.空间汇交力系合成的几何法,与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。,即：合力等于各分力的矢量和。,几何法对空间力系不方便，一般不用。,（2-7）,汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表达为,(2-8),3.空间汇交力系平衡的几何条件,平衡的几何条件是：该力系的力多边形自行封闭。,例2-2 门式刚架如下图所示，在B点受一水
4、平力F=20 kN，不计刚架自重，求支座A、D的约束力。,c,a,b,FA,FD,F,FD=bc=10 kN,FA=ca=22.5 kN，=26.5,代入式（2-7）后得,(2-9),(2-10),合力FR在坐标轴上的投影为,(2-11),合力FR可用解析式表达为,二、汇交力系合成与平衡的解析法,合力的大小及方向余弦为,(2-12),空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零，即,(2-13),由（2-12）式可得平衡方程为,(2-14),（1）对于平面汇交力系，则第三个方程恒等，独立的平衡方程只有两个。,（2）投影轴是可以任意选取的，只要这三个轴不共面以及它们中的任何两个轴不互相
5、平行。,解：,例2-3 平面共点力系,已知,，求：此力系的合力。,解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:,1.选分离体，分离体选取最好含题设的已知条件。2.画受力图。3.列平衡方程求解。,重点掌握汇交力系合成及平衡条件应用的解析法。,归 纳,例2.4 图示重物重为Q=30kN，由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。,解:1）取研究对象力系的汇交点A；,3）建立坐标系；,4）列出对应的平衡方程：,5）联立求解：,2）画受力图；,例2.5 水平力F作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，刚架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。,解:1）选取刚架为研究对象；,2）画受力图；,3）建立坐
6、标系，列平衡方程：,4）联立求解：,FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。,例2.6 支架的横梁AB与支杆BC在B点用铰链连接，梁的A端以及支杆的C点以铰链固定在铅垂墙上。已知力F作用在梁中间，即ADDB，且F15kN，支杆BC与水平横梁成30o角。设横梁和支杆的重量忽略不计，试求铰链A的约束力及支杆BC所受的力。,解:1）取横梁AB为研究对象，画受力图；,2）列平衡方程，建立Axy坐标系；,3）联立求解。,例2.7 边长为a的直角弯杆ABC的A端与固定铰链支座联结，C端与杆CD用销钉联结，而杆CD与水平线的夹角为60o，略去各杆的
7、重量。沿BC方向作用已知力F=60N。试求A，C两点的约束力。,解:1）取ABC为研究对象，受力图如图。,2）列平衡方程；,3）联立求解。,正值表示受力图中所假设的指向与真实的方向一致;负值表示受力图中所假设的指向与真实的方向相反。,注意：坐标轴（投影轴）可以任意选取，与合成结果无关，最好取成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。,解方程得杆AB和BC所受的力:,解：,由滑轮B的平衡。,显然，F1=F2=P,例题 2-8 如图，P=20 kN,求AB、BC两杆受力。,答案：,例2.9 杆AO，BO，CO用光滑铰链连接在O处，并在O处挂有重物F。如图2.15a所示。各杆的自重不计，且45o，OB
8、=OC，试求平衡时各杆所受的力。,解:1）取铰链 O为研究对象，受力图如图。,2）列平衡方程，建立坐标系；,3）联立求解。,FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，即AO杆受压。,例2-10 如图所示。起重机吊起重物,连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角=30o，CDB平面与水平面间的夹角EBF=30o,重物G=10 kN。不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。,解:取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。,解出,用扳手拧螺母,一、力对点之矩,力F 使物体绕 o 点转动的效应，用乘积 Fd 来度量。称为力F 对点o 之矩，简称力矩，用 表示。,1.平面力对点之矩,
9、力矩的正负号：逆时针方向转动为正，反之为负。,o点称为矩心；o点到力线的垂直距离 d,称为力臂。,也可表示为 MO(F)=2AOB,应注意：平面力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。,力矩的单位：国际单位制，,在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。,2.空间力对点的矩的矢量表示,如果r 表示A点的矢径，则：,（2-15）,即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。,两矢量夹角为,O,3.力对点之矩矢的解析表示式,则:,力对点O的矩 在三个坐标轴上的投影为:,（2-16）,力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴
10、的矩为零。,力对轴之矩等于垂直于该轴平面上的投影对轴于平面交点之矩。,二、力对轴的矩,（2-18）,空间汇交力系的合力对某一轴之矩等于各个分力对同一轴之矩的代数和。,FR=F1+F2+Fn 以r对上式两端做矢积，有 rFR=rF1+rF2+rFn 于是有：MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+MO(Fn)把左右两边都对z轴做投影，可得：,(2-19),三、力合力矩定理,证明：,已知：力 在三根轴上的分力，力作用点的坐标 x,y,z。,求：力 对 x,y,z轴之矩,四、力对坐标轴之矩的解析式,同理可得Mx、My，合写为,(2-20),比较（2-16）式和（2-20）式,定理：力对点的矩矢在过
11、该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,五、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系,可得：,（2-22）,又由于,所以力对点O的矩为：,（2-23）,例2-11 水平圆盘的半径为，外缘C处作用有已知力，如图所示。力位于铅垂平面内，且与C处圆盘切线夹角为，其它尺寸如图所示。求力对x，y，z轴之矩。,力F在x，y，z轴上的投影为,解：,力作用点C的坐标为,代入式（2-20）得,例2-12 手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。,
12、解:应用合力矩定理求解。,一、力偶和力偶矩,1.力偶的概念,无法再简化的简单力系之一。,度量转动作用效应的物理量。单位为Nm或kNm。,力偶系：作用于刚体上的一群力偶。,力偶的作用是使物体产生转动，其转动效应取决于力偶矩的大小和转向，平面力偶是代数量，逆时针转向为正。,2.力偶矩,二、力偶矩矢的概念,力偶的作用效果取决于三个要素：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面。可用力偶矩矢来表示三个要素。,力偶矩矢可用矢量积表示,O,在力偶作用面内任取一点O，则力偶对O点之矩为,表明力偶对作用面内任一点之矩等于力偶矩自身。,(2-25),在直角坐标系中，力偶矩矢的解析表示式为,三、力偶等效及性质,两
13、个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。,（两个力偶矩矢相等的力偶等效。）,1.力偶的等效条件,2.力偶的性质,性质一 力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本身又不平衡，也不能与一个力平衡（力偶只能由力偶来平衡）。是一个基本的力学量。,性质二 力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平面，而不改变对刚体的作用效应（自由矢量）。,性质三 保持力偶转向和力偶矩的大小（即力与力偶臂的乘积）不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以改变，而不会改变对刚体的作用效应。,力偶的表示方法,四、空间力偶理论,平面力偶作用效果取决于力偶矩的大小和转向，可用代数量表示，空间力偶作用效果取决于力偶矩的大小、转向和作用面的
14、方位，需用矢量表示。,平面力偶是代数量，空间力偶是矢量,力偶矩,因,力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。,一、平面力偶系的合成,任意个平面力偶的合成，有,或,这样得到新的力偶(,),则,平面力偶的合成，是一个力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。,二、平面力偶系的平衡条件,平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即,利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。,例2-13 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件A、B端的水平反力。,解：由工件平衡,例2-14 梁AB上作用一力偶,其力偶矩大为,转向如图，梁长l=5 m
15、,不计自重。求支座A、B 的约束力。,解:,由梁的平衡,解出,例2-15 横梁AB受力偶M的作用，不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束力。,解：由AB 梁的平衡,解得,例 2-16 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上分别作用着矩为 和 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，=30，不计杆重，试求 和 间的关系。,解：1）画受力图，杆AB为二力杆。,2）分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：,例2-17 图示机构处于平衡。已知，OA=a,=30o,M1,不计杆重，求M2。,解：画出曲柄和摆杆的受力图,曲柄平衡,摆杆平衡,可得：,两个力偶合成的结果得到一个合力
16、偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶矩矢的矢量和。即：,为合力偶矩矢。,三、空间力偶系的合成,先作力偶等效变换，得,(2-27),推广：力偶系合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：,将上式分别向x、y、z轴投影，则：,(2-28),(2-30),合力偶矩矢的解析表达式为,(2-29),合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示为：,例2-18 一个矩形体上作用三个力偶（）、（）、,（）。已知：,、,a=10cm，试求出三个力偶的合成结果。,解：方法1,方法2,合力偶矩矢的大小和方向与余弦为,五、空间力偶系的平衡条件,空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶
17、矩等于零，,欲使上式成立，必须同时满足：,(2-31),求工件所受合力偶矩在 轴上的投影。,例2-19 在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80Nm。,把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A,解：,例 2-20 已知：两圆盘半径均为200mm，AB=800mm,圆盘面O1垂直于z 轴，圆盘面O2垂直于x 轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计。求:轴承A、B处的约束力。,解：由整体平衡，画出受力图。,由力偶系平衡方程,解得,本章主要知识点,1.力的投影,2.合力投影定理,3.汇交力系平衡方程,4.力对点之矩和力对轴之矩,5.合力矩定理,6.力偶理论,7.力偶平衡方程,（4）合理选取坐标系，列平衡方程求解,（1）弄清题意，明确已知量和待求量；,（2）恰当选取研究队象，明确所研究的的物体；,（3）正确画出研究对象的受力图（主动力，约束反力，二力构件，三力汇交平衡）；,求解力系平衡问题的一般步骤：,本章结束谢谢听课!,例2-16 如图所示，机构，在图示位置平衡。已知：OA400 mm，600 mm，作用在OA上的力偶矩之大小 1 Nm。试求力偶矩 的大小和杆AB 受力F。各杆的重量及各处摩擦均不计。,2021,
