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1、第二章 质点组力学,质点组三大定理、三大守恒律 动量定理和动量守恒律 角动量定理和角动量守恒律 动能定理和机械能守恒律两个例子 两体运动 变质量物体的运动质心坐标系和实验室坐标系维里定理,理论体系：质点 质点组 刚体,本章内容：,2.1 质点组,一、质点组：由许多质点组成的系统，叫做质点组，也称质点系。,二、内力与外力,内、外力之分是相对的。,内力：质点组内各个质点之间相互作用的力，就叫做内力。外力：质点组以外的物体作用于质点组的力就叫外力。,三、质点系动力学研究方法,方法1 对质点系内每个质点建立运动微分方程，用计算机数值求解；,方法2 从整体上研究质点系存在哪些普遍规律（动量、角动量等）。
2、,明确质点系要从整体上进行研究的思想；,四、学好本章的要点：,掌握质心的概念和质点组相对质心系的运动特点。,理解内力对三大定理的影响；,五、质点组内力的特点,1、内力成对出现。,2、质点系所有内力之和为0。,每对内力大小相等、方向相反，沿两质点连线方向。,3、对任意参考点O，质点系内所有内力对O的力矩矢量和为0。,4、质点系内所有内力做功之和一般不为0。,所有内力对O的力矩矢量和,一对内力对O的力矩矢量和,一对内力做功,所有内力做功,六、质心,1、定义,它是诸质点位置的加权平均，质量相当于权重。,连续体的质心,(1)分量式,(2)对于质量均匀分布的连续体，其质心就是它的几何中心。,2、几点说明
3、,(3)如果一个体系由几个部分组成，其质心位置？,对于质心参照系 C-xyz,对于惯性参照系Oxyz，,例题、求腰长为 的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。,解：质心必位于x轴上,例题、求夹角为 的匀质扇形盘面的质心位置。,解：,2.2 质点系的动量定理和动量守恒定律,一、质点系的动量,质心系总动量的另一表达式,质心的速度,二、质点系的动量定理,质点组总动量的变化与内力无关，内力只能改变组内各质点的运动情况而不能改变整体的动量。,三、质心运动定理,质心的加速度,质心运动定理,四、质点系的动量守恒律,例1在光滑的水平面上，放有一个圆环，它的半径为a，质量为M。有一小虫，质量为m，在环上爬行，初始
4、时系统静止，问小虫和圆环中心的运动轨迹如何？,解：圆环和小虫组成质点系，,系统所受的外力之和等于零，,由质心运动定理，系统的质心加速度等于零，,质心在空间固定不动。,小虫和环心相对质心c的距离始终保持不变。所以小虫和环心的运动轨迹都是以质心c为圆心的圆形轨道，其半径分别为,M,m,解：建立如图所示的坐标系。以由滑块和尖劈构成的质点系为研究对象。,因沿x方向不受力,又,2.3 质点系的角动量定理和角动量守恒定律,一、质点系的角动量,二、质点系对固定点O的角动量定理,质点组角动量的变化与内力无关，内力只能改变质点组内单个质点的角动量。,三、角动量守恒律,四、质点组对质心的角动量定理,建立随质心平动
5、的参照系C-xyz,即质心坐标系,对于一般动点，大多不成立。,例题、在一光滑的水平面上有两个质量均为m的质点连接在一根刚性轻杆两端，杆长为L，整个体系处于静止状态。在t=0时刻，一个大小恒定的力F作用于其中一个质点上，方向始终在该水平面上并保持与轻杆垂直。试证明，当轻杆转过角度时杆的角速度为.,证明:设杆转过角度时杆的角速度为，质心位于杆的中 心，在质心平动参照系中用对质心的角动量定理，有,考虑初始条件，积分后可以得到,即,又因为,，所以,积分后即可计算出时间为,因此当轻杆转过角度时杆的角速度为,课本p92例题,例题、半径为r,质量为M的水平匀质圆盘可绕通过其圆心的铅直轴转动。一个质量为m的甲
6、虫，以相对圆盘速度为（为常数）的规律沿圆盘的边缘爬行。开始时，两者都静止，假设桌面光滑，试求甲虫爬行后，圆盘的角速度。,解：该系统对竖直轴的力矩为0，故角动量守恒，即,圆盘的角动量为,甲虫的角动量为,所以,（以圆盘转动方向为z轴正向）,作业：,1、已知质点对固定点O的角动量守恒，试证明(1)质点做平面曲线运动；(2)质点运动中掠面速度守恒（即质点的位置矢量在单位时间内扫过的面积为常量）。,2、一个人在圆形水平台上沿边缘走动，此台可绕其中心的铅垂轴转动，开始时两者都静止。试求人在平台上走完一周时的绝对角位移（假定人和平台的重量相等）。,3、已知桌面水平光滑，起初m作半径为L的匀速圆周运动，速率v
7、0，重物M静止，后放手，M下落。求：下落h(h L)时的重物M的速度。,2.4 动能定理与机械能守恒律,二、对固定点的动能定理：对惯性系,一、质点组的动能,三、机械能守恒律,质点组,当所有外力和内力都是保守力时，力做功等于势能的减少。,四、柯尼希定理(质点组相对于固定点的动能=?相对于质心的动能),五、对质心的动能定理,建立随质心平动的参照系C-xyz,即质心坐标系,一个质点,质点组,小结：,课本p96例题,一水平匀质细管长为L，质量为M，能绕过管一端并与其固连的竖直轴转动，轴质量可忽略，轴承处光滑。管内放有一质量为m的小球，如图所示。初始时，管的角速度为，小球位于管的中点，小球相对管的速度为
8、零。设小球与管壁间无摩擦，则系统在运动过程中哪些物理量是守恒的？,质量为m均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示，开始时，圆盘静止，且R=2r，则圆盘将如何运动？,有关质心和内力的讨论,1、利用质心系分解质点组的运动。,根据质心运动定理易于确定质心的运动；在质心系中研究问题可以使问题简化，因此一般把质点组的运动分解为一质心为代表的“平动”和相对质心系的运动。,2、内力的作用,质点系的总动量和总角动量对时间的变化率与内力无关，但这并非表明内力对质点系的运动没有贡献，它改变了质点组内单个质点的动量和角动量。,3、质点系内的质点是在外力和内力的共同作用下运动的，对质点系内的质点来说，内力
9、与外力有等同的作用。,4、质点系内的一对对内力造成了单个质点间动量与角动量的等量转移，内力对质点系的运动至关重要。,2.5 两体问题,一、两体问题的定义二、两体运动的分解三、两体的相对运动、折合质量四、开普勒第三定律的修正,一、两体问题：,不做任何近似，将两体问题转化为单体问题，使问题得到解决。,两体运动：两个质点组成的系统，仅在内力相互作用下运动。,(1)束缚态问题 其特点是两体间始终保持有限距离。如电子绕核，行星绕太阳的运动。,典型的两体问题有：,(2)散射或碰撞问题 两个粒子从相距无穷远处逐渐接近，经过相互作用后各自改变了运动状态又相互分离。,(3)俘获和衰变问题 过程前后粒子数从2变为
10、1或由1变为2，粒子物理中这类问题是很多的。,二、两体运动的分解,1、质心的运动,2、两体相对于质心的运动,两体相对质心的运动可以通过两体的相对运动求得。,由质心定义,2相对于1的位矢,(也即 的变化规律),三、两体相对运动、折合质量,假设质点2受到的作用力为，则质点1受到的作用力为,以质点1为动坐标系原点，质点2的运动方程,牛顿第二定律应作修正，其修正表现在质点所受的力中需补充惯性力。,由非惯性系动力学可知,定义折合质量,则2相对于1的运动方程,或,上式说明修正的方法还可采取另一方式进行，即只要以折合质量代替质点2的质量，那么质点2所受的力就无需修正，这种方法带来很大的方便。两体问题化为了单
11、体问题。,上式作变换,如果，则 即质量几乎不需要修正，意味着此时建立在 上的动坐标系可看作为惯性系。,四、对开普勒第三定律的修正,按两体问题考虑，太阳不是不动的，行星对太阳的运动方程应修正为,其中,与认为太阳是静止时行星的运动方程比较,修正前,修正后,开普勒第三定律,所以严格地说，这一比值并不是一个常数，对于不同的行星，这一比值是有差别的。但实际上，对于太阳系九大行星来说，这比值的差别非常小，即使对于质量最大的木星，这种修正非常小。,但是对于质量相近的双星系统，则必须考虑修正。修正后的开普勒第三定律给我们提供了计算双星中一个星体质量的依据。,氢和重氢的核质量不同，电子在核外运动，考虑两体理论，
12、则原子光谱有微小差异，由此导致了重氢的发现。,2.7 可变质量问题,一、可变质量问题 物体在运动过程中它的质量要随时间而变化的情况.例如,火箭、雨滴等。与相对论效应引起的质量变化不是同一问题。,二、研究方法,牛顿第二定律,？,不行，要求m是一个恒量。,用质点组研究,把质量不断变化的物体当作一个质点，把即将失去或得到的质量当作另一个质点，组成质点组，可用质点组的动力学定理求解。,在一般情况下，变质量物体在改变质量的同时，往往也要改变它的形状、大小以及内部质量的分布等，所以对一般情况下变质量物体运动的研究是复杂的，它有专门的变质量体力学去研究。在我们这里只讨论变质量物体作平动的情况。,三、变质量物
13、体的运动方程,由动量定理,设在t时刻一物体的质量为m，它的速度为，同时有一微小质量元 以速度 运动，时刻合并，以后共同速度为,略去二阶微量,使,(3)两种特殊的情况,注意:(1)m是变化的；(2)和 是绝对速度。,当,时，,当 时，就是加上去的质量与原来物体的速度相等，也就是相对速度为0的情况。例如自动剥落的现象就属于这种情况。,例1、雨点开始自由落下时质量为M，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为，略去空气阻力，试求雨点在t秒后所下落的距离。,取垂直向下的方向为x轴的正方向,t时刻，,因为t=0时v=0，因此c=0,解：,作业：,1、一条均匀的锁链在一水平面上卷成一堆。某人取锁链
14、的一端然后以均匀的速率 将它举高。试证明，当他的手离开平面 高度时，手中所感觉到的压力等于链长 的重量。,2、长为L质量为M 的匀质铁链悬挂在半空，其下端距离水平地面的距离为H。今使其自由下落到地面上，不考虑空气阻力因素的影响。试求该链全部落下的瞬间，地面所受铁链冲击力的大小。,2.6 质心坐标系与实验室坐标系，两体散射,入射粒子与靶核相互作用后，入射粒子和靶核都将有运动，入射粒子的运动和靶粒子的运动互相影响、互相耦合，这种情况称为两体散射。,属于两体问题，可化为单体问题解决。但是存在一个问题，就是两者的散射角不同。,实验室坐标系中的散射角，入射粒子方向的改变,质心坐标系中的散射角，两个粒子连
15、线方向的改变,本节课思路：1、得到质心坐标系中两体碰撞的规律；2、找出质心坐标系中的结果与实验室坐标系结果的变换；3、求出散射后两质点相对于实验室坐标系的散射速度。,一、在质心坐标系中两体散射的规律,1、质心系是零动量系。,得到,由碰撞前后动量守恒,在质心系中两质点的动量总是等值反向。,由,考虑弹性碰撞,又,消去,和,每个粒子在碰撞前后速度大小不变。,2、质心系中每个粒子在碰撞前后速度大小不变。,二、质心坐标系和实验室坐标系之间的变换,1 两个散射角之间的关系,当，则；当，则,（只考虑靶粒子初始静止的情况）,2、出射速度,也即 时，,代入,特殊情况下，并且,此时能量转移最大，入射粒子的能量全部转化为反冲质点的能量。,应用：反应堆的减速剂,将,得到,3、靶粒子的反冲,由于靶粒子初始时刻静止，所以,所以,其中,又,得到,2.8 维里定理,设所研究的质点组是由n个质点组成，其中一个质点的质量是,位矢为，所受的力为（包括约束力），,对质点组中所有质点求和，即,求G对时间的微商，得,1.如G周期函数，取一个周期,2.如G不是周期函数，且质点组内所有的质点都在有限的空间内作低速运动。,取 足够长,3、若为保守力系,如：单个质点受有心力作用时,若V是幂函数,若力是平方反比率 n=-2,
