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1、第四章 时变电磁场,4.1 波动方程,在时变得情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，其能量以波的形式向前传播，电磁波的传播规律服从波动方程。由麦氏方程可以推导出电磁场的波动方程。,下面建立无源空间 的波动方程。,取限定形式的麦氏方程:,(1)式两边取旋度,代入(2)式,再利用矢量恒等式和(3)式,可得到,同样地，(2)式两边取旋度后可得,波动方程的解是空间中沿某一特定方向的电磁波。所有电磁波的传播问题就归结为在给定边界条件和初值条件下求波动方程的解。,在有源空间，电磁场的波动方程表示为：,证明：和无源空间的波动方程的证明类似，差别在于算子对源变量、J作用时不为0，要保留。(作业),4.
2、2 时变场中的位函数,1.动态矢量位和标量矢量位,代入麦氏方程，有,2.达朗贝方程,到A和满足的微分方程,引入洛伦茨规范,将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得,4.3 Poynting矢量和Poynting定理,1.Poynting矢量的定义,电磁场中电能密度和磁能密度,时变场中的能量密度,由于场随时间变化，故空间各点的电磁能量密度也随时间变化，从而引起能量的流动。为了描述能量的流动情况，引入一个新的矢量-能流密度矢量，即Poynting矢量(符号S)。,其大小定义为：,单位时间流过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。,故又称为功率密度矢量。,其方向规定为：能量的流动方向(=波的传播方向
3、)。,上两式相减,若介质是线性、均匀且各向同性的，则介质参数(、)均为常数，那么上式右边各项：,因此上式改写为：,利用矢量恒等式,上式写为：,两端体积分，并利用散度定理,式中右边第一项就是焦耳定理的积分式，代表体积的介质中所消耗的功率，即单位时间体积中消耗的电磁能量；第二项中的积分是体积中的电磁能量，因此该项代表单位时间体积中增加的电磁能量。故等式右边实际上代表单位时间内，经边界流入体积的总的电磁能量，即流入功率,另一方面，根据Poynting矢量的定义，单位时间流过任意曲面A的能量(i.e.功率)为,流入闭合曲面A的功率,对比(a)、(b)两式，可得Poynting矢量S的表达式,定理的物理
4、意义：流入体积V内的电磁功率等于体积V内电磁能量的增加率与体积V内损耗的电磁功率之和。,解:(1),(2),(3),物理量的某种“流”显然是个和时间有关的概念。比如能量的流动(“能流”)、动量的流动(“动量流”)、电荷的流动(“电荷流”，即电流)、粒子的流动(“粒子流”)。流的概念反映了物理量的时空上的动态变化。,物理量的“流”及“流密度”,流 物理场T中物理量T的流定义为单位时间内垂直流过面积dA上的T的值，或者单位时间内面元dA上物理量T的变化量，i.e.dT/dt。,流密度 为单位时间内垂直流过单位面积的T的值，或者单位时间内单位面积上物理量T的变化量，i.e.dT/dt/dA。,电荷分
5、布场(标量场)中的电荷流（即电流）及电荷流密度（即电流密度）,（q是电荷量）,粒子流和粒子流密度,动量场中的动量流和动量流密度,（p是动量）,（N是粒子数）,4.4 时谐电磁场,1.时谐场的复数表示,时谐场：电磁场变量随时间正弦或余弦式地变化。,时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。以电场强度为例，在直角坐标系中，,利用复数来描述时谐电磁场场量，可使数学运算简化：,复振幅,场矢量的复数表示,时间因子,若要得出瞬时值，只要将其复振幅矢量乘以ejt并取实部，便得到其相应的瞬时值：,时谐场复数场矢量的时间导数：,一阶导数,二阶导数,其它场变量的复数形式可 依照
6、写出：,例题：已知场矢量的瞬时值 请写出其复数形式。,解：,2.麦克斯韦方程的复数形式,是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故,在复数运算中，对复数的微分和积分运算,其中L是实线性算子，如 等，因此麦氏方程,故当t任意时，,类似地,所有场变量都仅仅是空间的函数(反映场的空间分布)，方程的解剩以时间因子ejt后再取实部就是真实的时谐场的解。,复数形式的麦氏方程:,与含时的麦氏方程比较，其复数形式实现了时空分离，因此使方程的求解更简单。,对时谐平面波-jk,3.亥姆霍兹方程,在无源空间中，电磁波满足波动方程,在时谐场的情况下，,（I）,式中,亥姆霍兹方程,空间的函数，该方程就是
7、复场矢量满足的波动方程，称为亥姆霍兹方程。与方程(I)比较，亥姆霍兹方程实现了时空分离，求解更容易。因此时谐场的传播问题就归结为亥姆霍兹方程的求解。,亥姆霍兹方程的解乘以时间因子ejt后再取实部就是真实的时谐场的解，即,方程(II)中的场矢量是复场矢量，仅仅是,亥姆霍兹方程的每一个解代表电磁波在空间的一种可能的分布形式；每一种分布形式称为一种电磁波模式或波型。,4.平均能流密度矢量,电磁场能流密度矢量S的瞬时值的表达式,在实际应用时，能流密度的时间平均值，即平均能流密度矢量（或平均Poynting矢量），更有意义。,对时谐电磁场，当场矢量用复数表示时：,从而坡印廷矢量瞬时值可写为,它在一个周期T=2/内的平均值为,注意式中的电场强度和磁场强度是复振幅值而不是有效值；E*、H*是E、H的共扼复数。,重做4.3节的例题(链接),类似地可得到电场能量密度、磁场能量密度和导电损耗功率密度的平均值表示式：,
