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1、第五章 相交线与平行线的复习,相交线,两条直线相交,两条直线被第三条所截,一般情况,邻补角,对顶角,邻补角互补,对顶角相等,特殊,垂直,存在性和唯一性,垂线段最短,点到直线的距离,同位角、内错角、同旁内角,平行线,平行公理及其推论,平行线的判定,平行线的性质,两条平行线的距离,平移,平移的特征,命题,知识构图,条直线相交于一点，有 组对顶角。,n（n-1）,一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。,两条直线平行，那么它们的同位角的角平分线也互相平行；内错角的角平分线也互相平行；同旁内角的角平分线互相垂直。,本章几个重要的结论：,2.对顶角:(1)两条直线相交所构成的四个角中
2、，,有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。如图(2).,(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。,3.邻补角的性质:同角的补角相等。,4.对顶角性质:对顶角相等。,两个特征:(1)具有公共顶点;(2)角的两边互为反向延长线。,n条直线相交于一点，就有n(n-1)对对顶角。,1.互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角.如图(1),A,B,C,D,O,在解决与角的计算有关的问题时，经常用到代数方法。,解:设AOC=2x,则AOD=3x,所以2x+3x=180,因为AOC+AOD=180,解得x=36,所以AOC=2x=72
3、,BOD=AOC=72,答:BOD的度数是72,O,A,B,C,D,E,F,例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，,解:因为直线AB与EF相交与点O,所以AOE+BOE=180,因为AOE=36,所以BOE=180-AOE,=180-36=144,因为DOE=90,所以AOD=AOE+DOE=126,又因为BOC与AOD是对顶角,所以BOC=AOD=126,1.垂线的定义:两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是90时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。,2.垂线的性质:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(2):直线外一点与直线上各点连
4、结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。,3.点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。,4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。,5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。,垂 线,你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距离吗?,A,D,C,B,E,F,理由:垂线段最短,拓 展 应 用,如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。,C,理由:垂线段最短,A,B,C,D,O,E
5、,此题需要正确地应用、对顶角、邻补角、垂直的概念和性质。,O,A,D,C,B,由垂直先找到90的角，再根据角之间的关系求解。,思考：三角形的三条垂线有什么特点？,三角形的三条垂线都交于一点；,锐角三角形的三条垂线交点在三角形的内部；,直角三角形的三条垂线交点在直角顶点；,钝角三角形的三条垂线交点在三角形的外部；,例3:你能画出ABC三点到对边的垂线吗？,1、同位角的位置特征是:,2、内错角的位置特征是:,3、同旁内角的位置特征是:,(1)在截线的同旁，,(2)在被截两直线的同方向。,(1)在截线的两旁，,(2)在被截两直线之间。,(1)在截线的同旁，,(2)在被截两直线之间。,被截线,截线,三
6、线八角,4、同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。,A,C,B,D,E,1,2,答：EAC,答：DAB,答：BAC,BAE,2,1与哪个角是同旁内角？,2与哪个角是内错角?,例1.1与哪个角是内错角？,1和2不是同位角，,如图中的1和2是同位角吗?为什么?,1和2无一边共线。,1和2是同位角，,1和2有一边共线、同向,且不共顶点。,练 一 练,平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。,2.两直线的位置关系:在同一平面内，两直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行
7、。,3.平行线的基本性质:,(1)平行公理(平行线的存在性和唯一性)经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。,(2)推论(平行线的传递性)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。,平 行,(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。,(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。,(4)三种角判定(3种方法):,在这六种方法中，定义一般不常用。,同位角相等,两直线平行。,内错角相等,两直线平行。,同旁内角互补,两直线平行。,(3)因为ac,ab；所以b/c,判定两直线平行的方法有三种:,平行线的判定,条件,结论,同位角相等,内错角相等,同旁内角互
8、补,条件,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,结论,两直线平行,夹在两平行线间的垂线段的长度,叫做两平行线间的距离。,平行线的性质,证明：由：1+2=180(已知),(同旁内角互补，两直线平行),1=3（对顶角相等),2=4（对顶角相等),所以3+4=180,(等量代换),AB/CD.,例1.如图 已知：1+2=180，求证：ABCD。,例题精讲:,EFAB，CDAB（已知）,ADBC,(垂直于同一条直线的两条直线互相平行),EFB DCB,（两直线平行，同位角相等）,EFB=GDC（已知）,DCB=GDC（等量代换）,DGBC,（内错角相等,两直线平行）,AGD=ACB,（两直线平行，同位
9、角相等）,证明：,例2.已知 EFAB，CDAB，EFB=GDC，求证：AGD=ACB。,例题精讲,例3。已知DAC=ACB,D+DFE=1800,求证:EF/BC,证明:因为 DAC=ACB(已知)所以 AD/BC(内错角相等,两直线平行)因为 D+DFE=1800(已知)所以AD/EF(同旁内角互补,两直线平行)因为 EF/BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行),例题精讲:,证明：由ACDE（已知）,ACD=2,(两直线平行，内错角相等),1=2（已知）,1=ACD(等量代换),AB CD,(内错角相等，两直线平行),例4.如图，已知：ACDE，1=2，试证明ABCD。,1、观察右图并
10、填空：(1)1 与 是同位角;(2)5 与 是同旁内角;(3)1 与 是内错角;,4,3,2,基础练习:,a b,lm,l n,3.如图：1=1002=80，3=105 则4=_,4.两条直线被第三条直线所截，则（）A 同位角相等 B 同旁内角互补C 内错角相等 D 以上都不对,基础练习:,105,D,.如图,若3=4，则；,AD,1,若ABCD,则=。,BC,2,.如图，D=70，C=110,1=69，则B=,69,3.如图，若ABCD，再补充什么条件，可以得到AD/BC？,综合练习,4.已知,如图ABEFCD,ADBC,BD平分ABC,则图中与EOD相等的角有()个.,A.2,B.3,C.
11、4,D.5,D,5.如图，填空(1)B=1（已知）_/_（）(2)CG/DF（已知）2=（）(3)3=A（已知）_/_（）(4)AG/DF（已知）3=_（）,(5)B+4=180（已知）_/_（）(6)CG/DF（已知）F+=180（）,练习:,6 如图,已知 ABCD,1=30,2=90,则3=_,7 如图,若AECD,EBF=135，BFD=60,D=（）A、75 B、45 C、30 D、15,图1,图2,8、如图，已知AEM DGN，则你能说明AB平行于CD吗？,变式1：若AEM DGN，EF、GH分别平分AEG和CGN，则图中还有平行线吗？,变式2：若AEM DGN，12，则图中还有平
12、行线吗？,1、如图，已知ABCD，ABF=DCE.试说明：BFE=FEC.,思考题,2.如图，以下是某位同学 作业中的一段说理：如果1=2，那么根据同位角相等，两直线平行，可得ab；如果2+3=180，那么根据两直线平行，同旁内角互补，可得cd。你认为他说得对吗？,_,_,_,若OEAB,1=56,则3=_。,3.若BOC=21，则1=_，BOC=_。,34,60,120,4.（算算看）已知如图，OBOA，直线CD过O，BOD=110，求AOC的度数？,5.点到直线的距离是_ 点到直线上一点的连线 点到直线的垂线C.点到直线的垂线段 D.点到直线的垂线段的长度,6.如图，EFAD,1=2,BA
13、C=70.将求AGD的过程填写完整.因为EFAD,所以2=_(_)又因为1=2 所以1=3(_)所以AB_(_)所以BAC+_=180(_),因为BAC=70 所以AGD=_,一题多解:,已知：如图ABCD，试探究BED与B，D的关系,12,12,A,B,C,D,E,探究创新:,如图给出下列论断:(1)AB/CD(2)AD/BC(3)A=C以上，其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果，那么”的形式，写出一个你认为正确的命题。,A,B,C,D,分析:不妨选择(1)与(2)作条件，由平行性质“两直线平行，同旁内角互补”可得A=C，故满足要求。由(1)与(3)也能得出(2)成立，由(2)与(3)也能得出(1)成立。,解:如果在四边形ABCD中，AB/DC、AD/BC，那么A=C。,探究创新:,
