求质点在中心势场中运动的微分方程的解解由公式ppt课件.ppt

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1、3.1 求质点在中心势场 中运动的微分方程的解。解:由公式,代入,令:,讨论:(1)当,第3章 两体问题,选适当,使c=0,得,(2)当,选适当,使c=0,得,(3)当,选适当,使c=0,得,第(2),(3)中情况会出现r0,即质点被力心所俘获,当,t值有限,3.2 质量相同的两个质点,用一固有长度为l劲度系数为k,质量不计的弹性棒连接起来,用手握住其中一个质点,使另一个做水平圆周运动,其速度为V0,然后将手放开,讨论这两个质点以后的运动情况。解:放手前,体系质心做圆周运动,放手后质心在离心力作用下做抛体运动。仅考虑体系的相对运动,体系势能。两粒子相对运动可看成质量为折合质量mr的质点的运动,

2、,运动方程为:,其中:轨道方程为:,3.3 质点在一纬中心引力 的作用下,以速度为0,x=-a处开始运动,试求该质点到达力心o的时间。解:设无穷远处为势能零点,则,代入粒子在中心势的运动方程:,3.4 定性的讨论粒子在中心势 中的运动,式中k和为常数。解:当 1时,V0,此时近似做自由粒子的运动;当 1时,粒子近似做在势场 中的开普勒运动;当 1时,粒子近似做开普勒运动,但势场减弱为,3.6 求粒子在中心力 的作用下的轨道方程。解:粒子的中心势场可写为代入,令:,,其中:,3.8 试求粒子在势场 中运动且E=0(抛物线轨道)时,坐标对时间的依赖关系。解:粒子在中心势场 中运动,代入,运动方程:

3、,令,则,若,则,3.11 证明在椭圆轨道情况下,动能对时间的平均值等于势能对时间的平均值的一半(位力定理)。证明:在椭圆轨道情况下,。设,a,c分别是半长轴和焦距,有:,周期,可写为:,即,势能:,动能:,证明2:,令:,经过一个周期:,又:,在椭圆轨道,3.13 运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后,试在实验室系中用粒子的偏转角来表示粒子碰撞后的速度,即用 和 来表示 和解:设m1的初速度为,可得:,其中:,代入上式得:,3.22 设一质量为m的质点在 的中心力场中运动,试求其在稳定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。解:由比耐公式,轨道微分方程为:,其中,设势场有一微小扰动,使粒子轨道,代入

4、上式,保留到的一级项,得满足方程:,得轨道稳定条件为:,轨道稳定,附近径向振动频率,3.23 在地球表面A处,一发射角60和初速 发射一卫星,其中R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径和切向加速度;(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率;(3)如果卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半,其一半瞬时静止,试问另一半的轨道形状。解:卫星处于重力势场 中,由重力Fmg,卫星的轨道方程可写为:,其中:,轨道方程为:,当 r=R时,(1)受力分析得:,(2)当 时,有,由机械能守恒有:,即:,(3)当一半瞬时静止,由动量守恒有,,即轨道形状为抛物线,(2)当 时,有,由机械能守恒有:,即:,(2)双曲线轨道 上面式(1),(3),(4),(5)均成立,但,代入(5)得,,(3)抛物线轨道 式(1),(3),(4),(5)均成立,但e=1,代入(5)得,,(2)双曲线轨道,系统机械能为,,(3)抛物线轨道,系统机械能为,,解法2:(1)椭圆轨道,系统机械能为,,对椭圆轨道,机械能可表示为,,即得,机械能又可表示为,,抛物线轨道机械能为零,所以,即得,

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