流体力学第三章 流体动力学ppt课件.ppt

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1、第三章 流体动力学基础,1.拉格朗日法（随体法）,t0时，初始坐标a、b、c作为该质点的标志 x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t)，z=z(a,b,c,t),速度：,加速度：,物理概念清晰，但处理问题十分困难,3.1 研究流体运动的两种方法,2.欧拉法（局部法、当地法）,某瞬时，整个流场各空间点处的状态,以固定空间、固定断面或固定点为对象，应采用欧拉法,a.流体质点的加速度,同理,b.质点导数,对质点的运动要素A：,时变导数,位变导数,时变加速度,位变加速度,1.恒定流与非恒定流,（1）恒定流,（2）非恒定流,所有运动要素A都满足,2.均匀流与非均匀流,（1）均匀流,（2）非均匀

2、流,3.2 流体运动的基本概念,例：速度场求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度；（2）是恒定流还是非恒定流；（3）是均匀流还是非均匀流。,（1）将t=2，x=2，y=4代入得同理,解：,（2）,（3）,是非恒定流,是均匀流,3.流线与迹线,（1）流线某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲线上各点速度矢量与曲线相切,流线微分方程：流线上任一点的切线方向与该点速度矢量一致,性质：一般情况下不相交、不折转,流线微分方程,（2）迹线质点运动的轨迹,迹线微分方程：对任一质点,迹线微分方程,流线的特性：（1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下不能相交，也不能是折线，而是光滑的曲线或直线(2)不可压

3、缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流线越稀，流速越小。（3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。,例：速度场vx=a，vy=bt，vz=0（a、b为常数）求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图；（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。,解：（1）流线：积分：,o,y,x,c=0,c=2,c=1,t=0时流线,o,y,x,c=0,c=2,c=1,t=1时流线,o,y,x,c=0,c=2,c=1,T=2时流线,流线方程,（2）迹线：即,迹线方程（抛物线）,o,

4、y,x,注意：流线与迹线不重合,例：已知速度vx=x+t，vy=y+t求：在t=0时过（1，1）点的流线和迹线方程。,解：（1）流线：积分：t=0时，x=1，y=1c=0,流线方程（双曲线）,（2）迹线：,由t=0时，x=1，y=1得c1=c2=-1,迹线方程（直线）,（3）若恒定流：vx=x，vy=y 流线 迹线,注意：恒定流中流线与迹线重合,4.流管与流束,流管在流场中任意取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状表面,5.过流断面在流束上作出与流线正交的横断面,1,2,注意：只有均匀流的过流断面才是平面,例：,1,2,1处过流断面,2处过流断面,流束流管内的流体,6.元流

5、与总流,元流过流断面无限小的流束总流过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成,按周界性质：总流四周全部被固体边界限制有压流。如自来水管、矿井排水管、液压管道。总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触无压流。如河流、明渠。总流四周不与固体接触射流。如孔口、管嘴出流。,7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s）表示。显然，对于均质不可压缩流体有 元流体积流量 总流的体积流量,b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得

6、的流量与实际流量相同。8 均匀流与非均匀流 流场中所有流线是平行直线的流动，称为均匀流，否则称为非均匀流。按非均匀程度的不同又将非均匀流动分为渐变流和急变流，凡流线间夹角很小接近于平行直线的流动称为渐变流，否则称为急变流。,显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如下性质：（1）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面；（2）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同，即,实质：质量守恒,1.连续性方程的微分形式,o,y,x,z,dmx,dmx,dx,dy,dz,dt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量,3.3 连续性方程,同理：,dt时间内，控制体总净流出质量：,由质

7、量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即,连续性方程的微分形式,不可压缩流体即,例：已知速度场 此流动是否可能出现？,解：由连续性方程：,满足连续性方程，此流动可能出现,例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。,解：由得,积分,由z=0，uz=0得c=0,2.连续性方程的积分形式,A1,A2,1,2,v1,v2,在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则,连续性方程的积分形式,不可压缩流体,分流时,合流时,刚体平移、旋转流体平移、旋转、变形（线变形、角变形）,平移,线变形,旋转,角变形,3.4 流

8、体微元的运动分析,流体微元的速度：,1.平移速度：ux，uy，uz,2.线变形速度：,x方向线变形,是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）,同理,存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因,3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度,逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负,是微团绕平行于oz轴的旋转角速度,同理,微团的旋转：,4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度,微团的角变形：,存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因,是微团在xoy平面上的角变形速度,同理,例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征,解：流线方程：线变形：角变形

9、：旋转角速度：,x,y,o,（流线是平行与x轴的直线族）,（无线变形）,（有角变形）,（顺时针方向为负）,例：平面流场ux=ky，uy=kx（k为大于0的常数），分析流场运动特征,解：流线方程：,（流线是同心圆族）,线变形：,（无线变形）,角变形：,（无角变形）,旋转角速度：,（逆时针的旋转）,刚体旋转流动,1.有旋流动,2.无旋流动,即：,有旋流动和无旋流动,例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？,解：是有旋流,x,y,o,ux,相当于微元绕瞬心运动,例：速度场ur=0，u=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有

10、旋流动还是无旋流动？,解：用直角坐标：,x,y,o,r,ux,uy,u,p,是无旋流（微元平动）,小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。,无旋有势,1.速度势函数,类比：重力场、静电场作功与路径无关势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动,速 度 势 函 数,由函数的全微分：得：,（的梯度）,2.拉普拉斯方程,由不可压缩流体的连续性方程将代入得即拉普拉斯方程,为拉普拉斯算子，称为调和函数不可压缩流体无旋流动的连续性方程,注意：只有无旋流动才有速度势

11、函数，它满足拉普拉斯方程,3.极坐标形式（二维）,不可压缩平面流场满足连续性方程：,即：,由全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件,函数称为流函数,有旋、无旋流动都有流函数,流函数,由函数的全微分：得：,流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；,证明：,流线方程,（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；,证明：,（3）流线族与等势线族正交；,斜率：,斜率：,等流线,等势线,利用（2）、（3）可作流网,（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程,证明：,则：,将,代入,也是调和函数,得：,在无旋流动中,例：不可压缩流体，ux=x2y2，uy=2xy，是否满足连续性方程？是

12、否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。,解：,（1）满足连续性方程,（2）是无旋流,（3）无旋流存在势函数：,取（x0，y0）为（0，0）,（4）满足拉普拉斯方程，是调和函数,（5）流函数,取（x0，y0）为（0，0）,1.均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线,u,x,y,o,1,1,2,3,2,3,几种简单的平面势流,当流动方向平行于x轴,当流动方向平行于y轴,如用极坐标表示：,1,1,2,2,1,1,2,2,2.源流与汇流（用极坐标）,（1）源流：,1,1,2,2,o,3,4,ur,源点o是奇点r0 ur,速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标,（

13、2）汇流 流量,1,1,2,2,o,3,4,汇点o是奇点r0 ur,（3）环流势涡流（用极坐标）,注意：环流是无旋流！,速度势函数,流函数,速度场,环流强度,逆时针为正,1,1,2,2,o,3,4,u,也满足同理，对无旋流：,势流叠加原理,势 流 叠 加 原 理,（1）半无限物体的绕流（用极坐标）,模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加,u0,S,几个常见的势流叠加的例子,作流线步骤：找驻点S：,将代入（舍去）将代入得驻点的坐标：,u0,S,o,rs,（1）,（2）,由（2）,由（1）,将驻点坐标代入流函数，得,则通过驻点的流线方程为

14、,给出各值，即可由上式画出通过驻点的流线,流线以为渐进线,外区均匀来流区；内区源的流区（“固化”、半体）,（2）等强源汇流（用极坐标直角坐标）,模型：源流与汇流叠加（电偶极子）,x,y,o,a,a,r,r1,r2,P(x,y),1,2,q,-q,势函数,流函数,源流和汇流的叠加,当a0，q，2qa常数M,偶极流,利用三角函数恒等式、级数展开，化简,a0：偶极流,（3）等强源流（用极坐标直角坐标）,x,y,o,a,a,r,r1,r2,P(x,y),模型：两个源流叠加（两个同性电荷）,Q,Q,1,2,势函数,流函数,=C,=C,源流和源流的叠加,（4）源环流螺旋流（用极坐标）,模型：源流与环流叠加

15、（水泵蜗壳内的扩压流动）,势函数,流函数,等势线,流线,流线和等势线是相互正交的对数螺旋线,源流和环流的叠加（流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）,离心泵的叶片形状,3.6 伯努利方程及其应用 3.6.1 理想流体元流的伯努利方程 为了推导方便，将理想流体运动微分方程式写成 该方程为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能求得其解。这些特定条件为：恒定流动，有,沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得 对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线下列关系式成立，即 质量力只有重力，则,根据以上积分条件，有 不可压缩均质流体，=常数。上式可写为 积分得 对

16、同一流线上的任意两点1、2，有,上两式为重力场中理想流体沿流线的伯努利积分式，称为伯努利方程。由于元流的过流断面面积无限小，所以沿流线的伯努利方程也适用于元流。理想流体元流（流线）伯努利方程的应用条件：1、理想流体；2、恒定流动；3、质量力只有重力；4、沿元流（流线）积分；5、不可压缩流体。,：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，又称位置高度或位置水头；,3.6.2 理想流体元流伯努利方程的意义,：单位重量流体具有的压强势能，又称测压管高度或压强水头；,：单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头；,：单位重量流体具有的动能，又称流速高度或速度水头；,：单位重量流体具有的机械能，又称总水头。

17、解释伯努利方程的物理意义和几何意义！,3.6.3 理想流体元流伯努利方程的应用 说明毕托管的测速原理。如图，现欲测定均匀管流过流断面上A点的流速u，可在A点所在断面设置测压管，测出该点的压强p，称为静压。另在A点同一流线下游取相距很近的O点，在该点放置一根两端开 口的L型细管，使一端管口 正对来流方向，另一端垂直 向上，此管称为测速管。测 出的压强称为总压或全压。,以AO所在流线为基准，忽略水头损失，对A、O两点应用理想流体元流伯努利方程 则A点的流速为 考虑到粘性存在等因素的影响，引入修正系数c，则 将测速管和测压管组合成测量点 流速的仪器称为毕托管。,水（）-水银（）,c流速系数（11.0

18、4）,气（）-液（）,3.6.4 实际流体元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体元流的伯努利方程为 式中：为实际流体元流单位重量流体从1-1过流断面流到2-2过流断面的机械能损失，称为元流的水头损失。,3.6.5 总流的伯努利方程 图示为实际流体恒定 总流，过流断面1-1、2-2 为渐变流断面，面积为A1、A2。在总流中任取元流，其过流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分 别为dA1、z1、p1、u1；dA2、z2、p2、u2。,将实际流体元流伯努利方程式两边同乘重量流量 得单位时间通过元流两过流断面的能量方程 对上

19、式积分，可得单位时间通过总流两过流断面的能量方程 下面分别确定上式中三种类型的积分,（1）（2）式中为动能修正系数。修正用断面平均流速代替实际流速计算动能时引起的误差。即（3）式中 表示单位重量流体从过流断面1-1流到2-2的平均机械能损失，称为总流的水头损失。,将以上积分结果代入前式，得 因两断面间无分流及汇流，得 上式即为实际流体总流的伯努利方程。若式中的hw=0，则 上式即为理想流体总流的伯努利方程。,3.6.6 总流伯努利方程的应用条件和注意事项 总流伯努利方程的应用条件：恒定流动；质量力只有重力；不可压缩流体；所取过流断面为渐变流或均匀流断面，但两断面间允许存在急变流；两过流断面间无

20、分流或汇流；两过流断面间无其它机械能输入输出。,总流伯努利方程的注意事项：过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。过流断面上的计算点原则上可以任意选取，但若计算点选取恰当，可使计算大为简化。例如，管流的计算点通常选在管轴线上，明渠的计算点通常选在自由液面上。基准面是任意选取的水平面，但一般使z为正值。方程中的压强p1与p2可用绝对压强或相对压强，但同一方程必须采用同种压强来度量。,总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别（1）z1、z2总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高程；（2）p1、p2对应z1、z2点的压强（同为绝对压强或同为

21、相对压强）；（3）v1、v2断面的平均流速,3.6.7沿程有分流或汇流的伯努利方程 在分流处作分流面，将分流划分为两支总流，每支总流的流量是沿程不变的。根据能量守恒原理，可建立分流伯努利方程,3.6.8 水头线和水力坡度 总水头线是沿程各断面总水头 的连线。理想流体的总水头线是水平线，实际流体的总水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度J表示 测压管水头线是沿程各断面测压管水头 的连线。测压管水头线沿程可升、可降、可水平，其变化快慢用测压管水头线坡度Jp表示,例3-2:用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头损失hw=3m水柱，试求水管

22、流量，并作出水头线,解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程,作水头线,H,1,1,2,2,0,0,总水头线,测压管水头线,伯努里方程的应用,连续性方程,能量方程（忽略损失）,文丘里流量计,仪器常数K,流量系数（0.960.98）,注意：水（）-水银（）气（）-液（）,例3-4 如图，水池通过直径有改变的有压管道泄水，已知管道直径d1125mm，d2100mm，喷嘴出口直径d380mm，水银压差计中的读数h180mm，不计水头损失，求管道的泄水流量Q和喷嘴前端压力表读数 p。,解：以出口管段中心轴为基准，列1-1、2-2断面的伯努利方程因 代入上式，得 由总流连续性方程 联解两式

23、，得,列压力表所在断面及3-3断面的伯努利方程 因压力表所在断面的管径与2-2断面的管径相同，故 则压力表读数,例3-5 如图，已知离心泵的提水高度z20m，抽水流量Q35L/s，效率10.82。若吸水管路和压水管路总水头损失hw1.5mH2O，电动机的效率20.95，试求：电动机的功率P。,解：以吸水池面为基准，列1-1、2-2断面的伯努利方程 由于1-1、2-2过流断面面积很大，故v10，v20，并且p1p20，则 故电动机的功率,H=4cmL=24cm,虹吸管出流,等直径虹吸管出流，忽略粘性影响。求：（1）出口断面流速；（2）管内最大真空度。,=1,（1）在缓变流截面1、2列伯努利方程,

24、解.,已知,得,p、z 用统一的基准度量,（2）在缓变流截面1、A列伯努利方程,得,由,安装虹吸管的限制：管内最高点压强高于液体汽化压强,真空度,H=4cmL=24cm,关于气蚀：低压区产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流量减小，机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称气蚀（空蚀）,关于计算气蚀的例子：大气压强97.3kPa，粗管径d=150mm，水温40，收缩管直径应限制在什么条件下，才能保证不出现空化？（不考虑损失）,10m,解：水温40，汽化压强为7.38kPa,大气压强,汽化压强,列1-1、2-2断面的能量方程（必须用绝对压强）,列1-1、3-3断面的能量方程（可用相对压强）,1,1,2

25、,2,3,3,10m,连续性方程,例：定性作水头线,p,p,总水头线,总水头线,测压管水头线,测压管水头线,p,总水头线,测压管水头线,p,总水头线,测压管水头线,气体的伯努利方程,1.气体的伯努利方程,（1）用绝对压强（m）,常用压强表示（Pa）,v1,v2,p1,p2,z1,z2,0,0,a,1,1,2,2,（2）用相对压强,用相对压强计算的气体伯努利方程,v1,v2,p1,p2,z1,z2,0,0,a,1,1,2,2,用相对压强计算的气体伯努利方程,p静压v2/2动压(a-)g(z2-z1)位压,注意：z2-z1下游断面高度减上游断面高度（）；a-外界大气密度减管内气体密度（）；z2=z

26、1或a=位压为零,2.压力线,总压线,势压线,位压线,零压线,动压,静压,位压,静压+动压=全压,静压+动压+位压=总压,例3-6 如图，气体由相对压强为 的气罐，经直径d100mm的管道流入大气，管道进、出口高差h40m，管路的压强损失，试求：（1）罐内气体为与大气密度相等的空气（）时，管内气体的速度v和流量Q；（2）罐内气体为密度 的煤气时，管内气体的速度v和流量Q。,解：（1）罐内气体为空气时，列气罐内1-1断面和管道出口断面2-2的伯努利方程 因，上式简化为 即 故管内气体的速度 管内气体的速度流量,（2）罐内气体为煤气时，列气罐内1-1断面和管道出口断面2-2的伯努利方程 即 故管内

27、气体的速度 管内气体的速度流量,3.例：气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过直径为10cm、长为100m的管子流出大气中，高差为40m，沿管子均匀作用的压强损失为pw=9v2/2，大气密度a=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温度相同的空气时；（b）当管内为=0.8kg/m3燃气时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B的压强,A,B,100m,40m,C,解：,（a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程,作压力线,117.6,B,总压线,势压线,p,A,A,B,100m,40m,C,（b）管内为燃气时，取A、C断面列能量方程,即,作压力线,276,B,总压线,势压线,158,位

28、压线,p,例：空气由炉口a流入，通过燃烧，经b、c、d后流出烟囱，空气a=1.2kg/m3，烟气=0.6kg/m3，损失压强pw=29v2/2，求出口流速，作出压力线，并标出c处的各种压强,解：取a、b断面列能量方程,a,b,c,d,0m,5m,50m,作压力线,c点：,294,c3,c2,c1,c,总压线,势压线,位压线,零压线,a,b,d,控制体内流体经dt时间，由-运动到-，元流经dt时间，由1-2运动到1-2元流动量方程：,1,1,2,2,3.7 动量方程,总流动量方程：,动量修正系数,层流=1.33，紊流=1.05-1.021,不可压缩流体：,分量式：,适用范围：恒定流、不可压缩流体

29、,例1：一水平放置的弯管，管内流体密度，流量Q，进出口管径为d1、d2，d1处压强为p1，弯管旋转角，不计流动损失，求弯管所受流体作用力,解：a.取1-1、2-2断面间内的流体为控制体,b.画控制体的受力图：,c.连续性方程：,d.能量方程（z1=z2=0）：,p1A1、p2A2、FFx，Fy,v1A1=v2A2,v1,v2,p1,p2,1,1,2,2,Fx,Fy,F,动量方程的应用,f.解出Fx、Fy,g.由牛顿第三定律，弯管受力F与F大小相等，方向相反,e.动量方程,v1,v2,p1,p2,1,1,2,2,Fx,Fy,F,注意：1.如考虑水头损失，只要在能量方程中考虑；2.动量方程是矢量式

30、，分量式中要考虑符号的正负；3.牛顿第三定律,例2：水从喷嘴喷出流入大气，已知D、d、v1、v2，求螺栓组受力,解：（a）取1-1、2-2断面间的水为控制体,（b）受力图 p1A1，F,注意：（1）p2=0；（2）螺栓是作用在管壁上，不是作用在控制体内，千万不可画！,d,D,v2,v1,p1,F,1,1,2,2,（d）能量方程,（e）动量方程,（f）解出F,（g）由牛顿第三定律，螺栓组受力F与F大小相等、方向相反,（c）连续性方程,d,D,v2,v1,p1,F,1,1,2,2,例：来自喷嘴的射流垂直射向挡板，射流速度v0，流量Q，密度，求挡板受射流作用力,解：a.控制体,b.受力图：F,注意：

31、p1=p2=0,c.动量方程（水平方向）：,d.牛顿第三定律,Q、v0,F,2,2,2,2,1,1,讨论：1.如果射流在斜置光滑挡板，求挡板受力和Q1、Q2,a.F挡板,b.列挡板法线方向的动量方程：,c.能量方程：,Q、v0,Q2、v2,Q1、v1,F,牛顿第三定律,其中,Q、v0,d.连续性方程：,e.列挡板方向的动量方程：,由c、d和e解出Q1、Q2,Q1+Q2=Q,Q2、v2,Q1、v1,F,2.如果射流在水平位置的小车，小车以速度v运动，求小车受力F及当小车v为何值时，可由射流获得最大功率,注意：控制体入流速度为相对速度vr=v0-v，流量为相对流量Qr=vrA=(v0-v)A,V0

32、A,F,v,b.功率：,c.,解,（舍）,a.动量方程：,牛顿第三定律,V0,A,F,v,3.8 动量矩定理解决流体旋转与固体壁面的相互作用力,1.动量矩定理,动量定理：,动量矩定理：,r,v2,2.例：从洒水器的下方注入高压水流，上行至旋转管处分为两股，各旋转臂经喷嘴切向喷出，水流Q=1000mL/s，每个喷嘴出口面积都为A2=30mm2，旋转臂长r2=200mm，要施加多大阻力矩Mz才可保持洒水器不转？,解：取洒水器转动方向为正（逆时针）,牛顿第三定律，Mz与M大小相等、方向相反,Mz,v1,v2,讨论：a.如果当洒水器以n=500r/min转动，求Mz,Mz,v1,v2,牛顿第三定律，Mz与M大小相等、方向相反,（绝对速度）,b.阻力矩为零时，洒水器的转速n,c.注意：,（局部）,v,