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1、线性稳定性理论,一、稳定性基本概念,流体中的不稳定性,K-H不稳定性,A.K-H(Kelvin-Helmholtz）不稳定性 自由剪切流的无粘不稳定性,混合层 K-H不稳定性,K-H不稳定性的关键：速度剖面有拐点,已知某运动状态；在此基础上施加微小扰动；如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定,注:本PPT摘录自力学所李新亮CFD讲义,自然界中 K-H不稳定性图片,智利塞尔扣克岛的卡门涡街,澳大利亚Duval山上空的云,KelvinHelmholtz instability clouds in San Francisco,佛兰格尔岛周围的卡门涡街,高速流,低速流,自由剪切层受到扰
2、动界面变形后的情况 K-H不稳定性的产生机理,受阻减速，压力升高，产生高压区,高压导致变形加剧,B.T-S(Tollmien-Schlichting)不稳定性不可压 壁面剪切流的粘性不稳定性,C.R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性 重力带来的不稳定性,R-T(Reyleigh-Taylor)不稳定性,重介质,轻介质,D Bernard热对流不稳定性,Barnard 热对流的胞格结构,二、稳定性问题的常用数学方法 线性稳定性分析,Step 1:得到线性化的扰动方程,控制方程为：,已知其具有解,令：,舍弃高阶小量，得到线性化的扰动方程,（1）,例如：平板的Blasius解，槽道的Po
3、iseuille 解,线性方程,Step 2:求解 的特征值问题,什么条件下具有非零解，非零解如何？,通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维问题,数值方法：将（1）离散代数方程何时有非零解，非零解如何？特征值问题,什么条件下有非零解？,特征值问题计算量巨大，目前通常只能处理一维问题,三、稳定性问题示例 不可压缩槽道流动的线性稳定性（LST）理论(以二维为例),Step 1:获得线性化扰动方程,令：,Poiseuille解：,(2),代入方程（2），并舍去高阶小量得到线性化的扰动方程,（3）,1）控制方程及边界条件,研究扰动发展的空间模式和时间模式,扰动源,空间模式：任一点的扰动具有时间周期性
4、 符合物理条件,假设扰动具有如下形式：,沿流向及时间方向具有波动特性称为Tolmien-Schlichting（T-S）波,任意扰动可分解为正弦波的叠加 线性系统各成分无相互作用 可独立研究,为实数,为复数,扰动波的振幅沿流向指数变化,空间增长率,时间模式：扰动具有流向的周期性 假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化,为实数,为复数,扰动波的振幅虽时间变化,时间增长率,以时间模式为例：,（4）,（5）,（6）,线性偏微方程（3）转化成为含参数的线性常微方程组（4）-（6）,谱方法的常规做法,通过消元法，转化为更高阶的常微方程（不是必须的）,常用做法，通常还可以反向为之：高阶方程转化为低阶方
5、程组,消去,Orr-Sommerfeld（O-S)方程,其中：,最终，控制方程为O-S方程：,边界条件：,y=1（固壁）:,y=0（中心线，对称）：,可以取计算域-1,1,使用固壁边界条件；也可以取计算域-1,0,使用固壁及对称边界条件,流函数形式的O-S方程,引入流函数，使得：,计算出 后，利用公式,计算其他两个量,则：,令：,常数倍,满足的方程及边界条件与 完全相同。,如果 恒大于（或恒小于0），则必有,小知识：关于O-S方程,1）O-S方程适用于不可压平行流的稳定性问题（不仅槽道流）2）准平行流（流线沿x方向接近平行）也可使用（例如边界层流动）3）如果舍去粘性（左端）项，则方程称为Rayleigh方程,Rayleigh拐点定理：Rayleigh方程存在不稳定解的必要条件是速度型存在拐点。即存在某点 使得,若存在无粘不稳定性，该项必有0点。,分部积分，并取虚部，得：,不存在非稳定解,2）O-S方程的解法,数学表述 奇性（特征值）问题：参数 为何值时，方程有非零解？非零解如何？,时间发展槽道湍流：(通常)给定Re及a，问 w取何值时，O-S方程有非零解？,增长率,求解步骤：1）将O-S方程离散，得到线性代数方程组 离散方法：差分法、有限元法、谱方法、打靶法 2）求w，使得该方程有非零解（奇性或特征值问题）.,求出w,局部法：只求出一个w全局法：计算出全部的w,
