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1、第7章 最优控制,7.1 基本概念 7.2 变分法在最优控制中的应用 7.3 极小值原理 7.4 动态规划 7.5 线性二次型最优控制 7.6 实用最优控制系统 本章小结,概述,最优控制作为现代控制理论的重要组成部分，所要解决的主要问题是如何在给定条件下，确定一种合理的控制规律，使被控对象在预先规定意义上的性能指标具有最优值。早在20世纪50年代初期，随着计算机技术的飞速发展和空间技术的迫切需求，推动人们研究更为复杂的控制系统，并建立了以状态空间法为基础的最优控制理论。通过研究发现，最优控制问题的本质是求解泛函极值问题，属于变分学的理论范畴。经典的变分理论只能解决容许的控制律属于开集的一类最优
2、控制问题。在开辟求解最优控制问题新途径的工作中，原苏联学者庞特里亚金（）的“最小值原理”和美国学者贝尔曼（R.E.Bellman）的“动态规划”占有重要地位，成为解决最优控制中控制律有闭集约束问题的有效工具。根据控制变量的取值范围有无限制，可将最优控制问题分为无约束最优控制和有约束最优控制。本章主要介绍求解无约束最优控制问题的变分法和有约束最优控制问题的最小值原理、动态规划、线性二次型最优控制和应用MATLAB求解最优控制问题等内容。,7.1基本概念,7.1.1宇宙飞船登月软着陆的实例,实例1：宇宙飞船若实现在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面时的速度为零，要寻求登月舱发动机推力的最优变
3、化率，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察任务后，登月舱有足够燃料离开月球与母舱会合，从而返回地球。,飞船登月舱质量高度垂直速度发动机推力月球重力加速度为常数飞船登月舱不含燃料时的质量登月舱所载燃料质量登月舱登月时的初始高度初始垂直速度,登月舱的运动方程,初始条件为,式中k为常数。,末端条件,式中，为登月舱发动机工作的末端时刻。,控制约束条件为,式中，为登月舱发动机最大推力。,性能指标取为表征燃料能耗量的登月舱着陆时的质量，即,7.1.2 最优化问题的数学描述,从上述实例可以看出，最优控制理论通常是将控制问题严格地抽象为数学模型后再求解的。,最优化问题的数学描述，应包括以下四个方面的内容：,（1
4、）受控动态系统的数学模型，即受控系统动力学特性的系统状态方程，它反映了动态系统在运动过程中所应遵循的客观规律，是描述被控系统各状态变量之间关系的一组等式。,（2）动态系统的初态和终态（末态）即状态方程的边界条件。一个动态过程，归根到底是状态空间从一个状态转移到另一个状态。,（3）目标函数（又称性能指标或性能泛函或目标泛函等）。目标函数是一个衡量“控制作用”效果的性能指标。为了实现动态过程中状态从初态转移到终态，可以通过不同的控制来完成，而各种控制效果的好坏，可通过能否达到所规定的目标函数来判别。对于最优化问题的目标函数，其内容与形式主要取决于具体最优化问题所要解决的主要矛盾。,（4）容许控制的
5、集合。每一个实际的控制问题，控制向量u(t)都有一个规定的取值范围，这个取值范围对应于m维控制空间Rm中的一个集合，而u(t)的每一个取值对应于集合中的一个元素。凡属于集合的控制称为容许控制。如果容许控制受到限制，如，则称容许控制属于某一闭集；如果容许控制向量u(t)的取值不受限制，则容许控制属于某一开集。容许控制属于闭集和开集的两类问题，在处理方法上有较大差别。,最优控制问题的一般提法为：已知被控系统的状态方程及给定的初始状态，规定一个目标集，求一容许控制，使得被控系统在初始时刻由初始状态出发，在终止时刻转移到目标集，并使性能指标满足要求。,7.2变分法在最优控制中的应用,变分法是求解泛函极
6、值的一种经典方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。本节在简要地介绍泛函及变分学的概念和原理的基础上，着重阐述无约束条件的最优控制变分求解和有等式约束条件的最优控制变分求解方法。,7.2.1 泛函与变分法的基本概念,泛函可以理解为“函数的函数”，其值由函数的选取而定，这一点与“复合函数”的概念有本质差异。,求证,7.2.2 泛函极值,7.2.2 泛函极值,证明,“欧拉方程”或“欧拉拉格朗日方程”,横截条件,7.2.2 泛函极值,7.2.3 横截条件,7.2.3 横截条件,7.2.3 横截条件,解,即,7.2.4 条件极值,属于二点边界值问题，只有在特殊的
7、情况下才能求出它的解析解。一般情况下，只能使用计算机求出数值解。,7.3极小值原理,向量差分方程，常称为离散欧拉方程,离散横截条件,7.4动态规划,7.5线性二次型最优控制,7.6实用最优控制系统,7.6.3二级倒立摆控制,每一级摆杆都是刚体；在实验过程中同步带长度保持不变；驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接施加于小车；实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。,针对二级倒立摆系统的平衡控制问题，首先对该系统进行建模；并设计了两种控制方法：线性二次状态控制器和线性二次输出控制器；最后根据所得控制策略进行了仿真，对所获得的控制结果进行了对比研究，不仅从理论上分析了两种方法的优缺点，而且从自不稳定的倒立摆实际控制系统中进一步证实了各方法的控制效果。,1.二级倒立摆数学模型的建立,为了进行线性控制器的设计，首先需要对被控制系统进行建模，二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：,本章小结,
