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1、第17章 网络图论基础,17.1 网络的图,17.2 回路 树 割集,17.3 图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式,17.4 节点电压法,17.5 含VCCS电路的节点分析,17.6 割集法,17.7 回路法,17.9 表格法,17.8 改进节点法,本章重点,本章重点,返回目录,网络图论是数学的一个分支，是应用图论研究网络的几何结构及其基本性质的理论。,研究对象,实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的“图(graph)”。,电路中的应用,应用图论的基本概念建立便于计算机识别的列写电路 方程的系统方法。,17.1 网络的图,一、网络图论,网络拓扑（topological graph）:泛指
2、线段和点之 间的连接性质。,二、网络的图,电路图,抽象图,名词,（2）子图（sub graph）,（3）路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动 到达另一节点所经过的支路构成路经。,（4）连通图（connected graph）：图G的任意两节点间至 少有一条路经时称图G为连通图。,有向图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。,（5）有向图（directed graph）,返回目录,17.2 回路 树 割集,一、回路（loop）,（1）连通；（2）每个节点关联支路数恰好为2。,回路L是连通图G的一个子图。,具有下述性质,树支（tree branch）：属于树的支路。,连支（li
3、nk）：属于G而不属于T的支路。,二、树（tree）,树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：,（1）连通；（2）包含G的所有节点；（3）不包含回路。,树T1,树T2,树支数 bt=n-1,连支数 bl=b-(n-1),单连支回路（基本回路（fundamental loop）：每个回路中只包含一个连支，其余均为树支。,树支数 4,连支数 3,以2，3，6，7为树支，分别加入1，4，5形成三个单连支回路,三、割集（cut set）,（1）把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分；,（2）保留Q 中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。,割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：,例,闭合
4、面与支路2，5，4，6相交,Q4:1,2,5,Q3:1,4,5,Q2:2,3,6,例,Q4:1,5，3，6,单树支割集（基本割集(fundamental cut set）每个割集中只包含一个树支，其余均为连支。,Q3:1,3,5,6,Q2:3,4,5,Q1:2,3,6,选1，2，4为树支的基本割集,1，2，3，4 是否组成割集？,三个分离部分,保留4支路，图不连通的。,基本回路,基本割集,1，2，3，4,1，4，5,1，2，6,3，4，5,2，3，6,1，5，3，6,基本回路和基本割集关系,对同一个树,（1）由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个 这种连支构成的单连支回路中包含该树支
5、bt。,例 由树支4确定的基本割集包含连支3、5，则连支3、5 构成的单连支回路中一定包含树支4。,（2)由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl。,例 由连支6确定的单连支回路包含树支1，2，则由树支1，2所构成的基本割集中一定含有连支6。,返回目录,17.3 图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式,一、节点关联矩阵（node incidence matrix）A,用矩阵形式描述节点和支路的关联性质,1 有向支路 j 背离 i 节点,-1 有向支路 j 指向 i 节点,0 i节点与 j 支路无关,关联矩阵,Aa=aijn b,1 0 0-1 0
6、 1,-1-1 0 0 1 0,0 1 1 0 0-1,0 0-1 1-1 0,1-1 0 0,0-1 1 0,0 0 1-1,-1 0 0 1,0 1 0-1,1 0-1 0,设为参考节点，划去第4行,称A为降阶关联矩阵(reduced incidence matrix)(n-1)b，表征独立节点与支路的关联性质,按列列写,按行列写,各行不独立,支路电压,节点电压,矩阵形式的KCL,矩阵形式的KCL,Ai=,Ai=0,矩阵形式的KVL,二、基本回路矩阵（fundamental loop matrix）B,（2）支路排列顺序为先树(连)支后连(树)支。,1 支路j与回路i关联，方向一致,-1
7、支路j 与回路i关联，方向相反,0 支路j 不在回路 i 中,约定：（1）回路电流的参考方向取连支电流方向。,用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质,B=b i j l b,选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。,1-1 0 1 0 0,1-1 1 0 1 0,=Bt 1,设,矩阵形式的KVL,0 1-1 0 0 1,Bu=0,Bu=0 可写成另一种形式,Bt ut+ul=0,ul=-Btut,用树支电压表示连支电压。,连支电压,树支电压,B=Bt 1,用连支电流表示树支电流。,BT il=i,矩阵形式的KCL,KCL的另一种形式,三、基本割集矩阵（fundamental cut set m
8、atrix）Q,约定：（1）割集方向与树支方向相同。（2）支路排列顺序先树(连)支,后连(树)支。,1 j支路与割集 i 方向一致,-1 j支路与割集 i 方向相反,0 j 支路不在割集 i 中,用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质,Q=q i j n-1 b,Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6,设,矩阵形式的KCL,Qi=0,选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。,用回路矩阵表示时,用连支电流表示树支电流,矩阵形式的KCL的另一种形式,Qi=0 可写成,可见，回路矩阵和割集矩阵有 的关系。,矩阵形式的KVL,用树支电压表示连支电压。,QTut=u,KVL的另一种写法
9、,Q,Qi=0,QTut=u,小结：,ul=-Btut,A,B,Ai=0,BTil=i,ATun=u,Bu=0,矩阵形式的KCL，KVL,返回目录,17.4 节点电压法,KCL A i=0,KVL u=Atun,元件特性方程,规定每个支路必须有一个阻抗,Yk：导纳,k支路电压、电流关系：,设,Z=diagZ1 Z2 Zb,Y=diagY1 Y2 Yb,Z=Y-1,支路电流的矩阵方程 为,b条支路电压与电流关系的矩阵形式为,由KCL A i=0,由KVL u=Atun,节点导纳阵（node admittance matrix）,得节点电压方程,由此求得支路电压和电流,可得,（1）画有向图。,（2
10、）,例1 列写图示电路的节点电压方程。,解,（4）,（5）,（6）,得,（3）,Y=Z-1,其中,节点电压方程,（矩阵相乘由程序完成）,返回目录,17.5 含VCCS电路的节点分析,第一步：先不考虑受控源，b 条支路电压、电流关系的矩阵形式为,设电路中只存在由阻抗元件电压控制的电流源。,第二步：考虑受控源，只需在导纳矩阵的 k行（受控支路）和 j列（控制支路）处添上控制系数 gkj（参照标准支路定正、负）。,gkj,得,将上式改写为:,例 列写图示电路的节点电压方程。,其中,-g,节点方程,在Y阵的第3行第4列处添上 g，得到Ym,返回目录,17.6 割集法,取割集（树支）电压为未知变量。,割
11、集方程矩阵形式,元件特性,割集法和节点法很相似。在割集法中VCCS最易处理，处理方法与节点法完全相似。,返回目录,17.7 回路法,取回路电流（连支电流）为未知变量。,回路方程矩阵形式,支路电压与支路电流的关系,代入上面方程，整理后得,回路法中独立变量是电流，最易处理CCVS，处理含有互感的电路时比节点法和割集法方便。,返回目录,17.8 改进节点法,处理对象：电路中含有纯电压源或纯压控电压源支路。,思路：先用直观法列节点方程，进而给出改进节点 法一般形式。,补充方程：纯电压源或纯压控电压源支路电压和节点 电压的关系式。,控制量与节点电压的关系式,将以上各式写成矩阵形式,改进节点法的一般形式为
12、,其中,H12：纯电压源（纯压控电压源）支路与节点相关联 的子矩阵。,Yn：将电路中的纯电压源或纯压控电压源支路断开后 电路的节点导纳子矩阵。,：为节点电压列向量。,：为纯电压源或纯压控电压源支路的电流列向量。,：注入各节点的等效电流源列向量。,：纯电压源支路的电压源向量。,H21：用节点电压表示纯电压源（纯压控电压源）支路 电压子矩阵。,返回目录,17.9 表格法,表格法是以电路中全部支路电压、支路电流和独立 节点电压为待求量求解电路的方法。,举例说明,支路数 b=6，独立节点数 n=2，待求变量共2b+n=14个。,设,支路电压向量,独立节点电压向量,支路电流向量,关联矩阵,KCL,KVL,支路约束关系,写成矩阵形式,其中,将下面三式合成矩阵形式的方程即为表格法方程。,在表格法中建立系数矩阵的规则很简单，相当于填写 一张表格，易于用计算机来完成，且通用性强。,返回目录,
