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1、变量类型与统计分析对应表如下：条件期望与条件方差在正式进入计量经济学的学习之前，需要对条件期望以及条件方差熟练掌握，它们将在以后的学习中经常遇到。一、条件期望1、条件均值的定义条件均值的定义为：应当指出的是，条件期望是谁的函数？ 2、条件期望的性质条件均值有几个简单而有用的性质：（1）迭代期望律 ( Law of Iterated expectations, LIE)条件期望的期望等于无条件期望：其中，记号表示关于x值的期望。Proof:离散情形：We need to show: Where .We have连续情形:and 迭代期望律的一般表述方式 其中，是的子集，为非随机函数。 特例： 另
2、外，也成立。Smaller -field always win!（2）（3） （4）更为一般的情形：设，为的标量函数，为随机变量，那么：（5）对于任何二元变量的分布， 证明： 从这个公式中，我们需要理解线性回归中的两个古典假设：由此零均值假定（在给定的条件下，的条件均值为零）与随机扰动项与解释变量不相关的假定在某种意义下等价，这将在以后的学习中经常提及。二、条件方差1、条件方差的定义条件方差的定义为： 它的简化公式为：可认为是：分组条件下的集中程度的度量，或者，分组条件下的差异程度的度量。同理，条件期望为总体分组条件下的分门别类地求期望。2、条件方差的性质（1） （2）一个重要的方差分解定理：
3、 它表示，在一个二元分布中，y的方差可分解为条件期望的方差加上条件方差的期望。将此式变形即可得到：它表示从平均意义上看，在条件约束下，条件化减少了变量的方差。y的条件方差不大于y的无条件方差。现在我们来证明 证明： （3）证明：利用性质：，则：右边第一项为右边第二项为 所以小结： 1、方差分解定理可以表述为： 在方差分解定理的公式中，是的方差，也就是回归式中的总离差平方和TSS。条件期望的方差是回归式中的回归平方和ESS；条件方差的期望是回归的残差平方和RSS。2、依据方差分解定理，可以构造R2统计量：3、对方差分解定理进行简单的扩展，得到如下的表达式：两边取期望，由迭代期望定理得到：由于回归
4、方程的总离差平方和TSS是不变的，因此，上式说明，在回归式中增加新的变量会使得可决系数增大。古典假设与最小二乘一、背景本部分开始我们正式进入计量经济学的学习。在计量经济学中，我们考察经济变量之间的相互关系，最基本的方法是回归分析。回归分析是计量经济学的主要工具，也是计量经济学理论和方法的主要内容。本部分从多元回归模型入手，对古典假设进行学习，然后就最小二乘估计法的算法、双残差回归和模型拟合优度的一些问题进行探讨。二、知识要点1、回归模型2、古典假设3、最小二乘法4、双残差回归5、方差分解和拟合优度三、要点细纲1、回归模型一般的，我们可以将回归模型写为条件期望和随机扰动项的和，即：。当取不同的形
5、式时，也就构成了不同的模型，包括：线性、非线性和非参数等。我们这里所学习的是线性模型(一元或多元)：，则总体回归方程可表示为：。其中：，表示样本数量，表示解释变量个数（包含了常数项），当时就是一元线性回归模型（也称简单线性回归模型）。而表示的是随机扰动项，包含了除了解释变量以外的其他影响因素。若遗漏变量，则这个变量也将被扰动项所包含。这里有个回归和投影的概念，简单的说回归是相对总体而言，而投影是相对样本而言，线性投影总是存在的，而且是唯一的。2、古典假设在初级计量经济学中，我们可以看到对于回归模型的假设条件包括：（1）零均值，即；（2）同方差与无自相关假定，即随机扰动项的方差；（3）随机扰动项
6、与解释变量不相关，即；（4）无多重共线性，即各解释变量之间线性无关，；（5）正态性假定，即。对于线性假定，两个层面，一是指参数线性，而不是解释变量的线性。这里，某些非 参数线性的模型，可以通过对解释变量和被解释变量进行一定的线性变形，可以转换为参数线性模型，比如对数线性模型、半对数线性模型、超对数线性模型等；另一是指有利于推导参数估计量的统计分布以及进行推断分析。第二，满秩性条件，它是为了保证条件期望的唯一性，参数可求解，同时，此项假设在本课程的学习过程，将会在多处（特别是在某些推导过程中）涉及。第三，外生性条件，表示随机扰动项中不包含有解释变量的任何信息。注意，外生性条件的不同表述方式和内涵
7、。外生性条件的违反将影响到参数估计的一致性问题。第四，球形扰动，是指随机扰动项的方差-协方差矩阵为同方差和无自相关同时成立时的情况。违反此假设条件，被称为非球形扰动，将会影响到参数估计的有效性问题。第五，正态性条件，它主要与我们的统计检验和推断有关，但在大样本的条件下，根据中心极限定理这个条件是可以放宽的。在后期的学习过程中，将逐渐放宽这些假设条件，从而对于这些假定的进行深入理解。3、最小二乘法以估计的残差平方和最小的原则确定样本回归函数，称为最小二乘准则。在古典假定下的最小二乘法，也称为普通最小二乘估计（简记为OLS）。对于多元回归模型，总离差平方和我们的目标是使得回归的残差平方和达到最小，即： 则它的一阶条件为：化简得：以上是属于初级计量中的做法。而在本课程的学习中，我们需要从矩条件对最小二乘进行理解。关于矩将在后面部分中详细提到，这里只是应用该知识点。由外生性条件可得：从而： 用样本矩替代总体矩，则可以得到：。所以有：。4、最小二乘估计的一些性质代数性质（1）残差和等于0，即；（2）回归线经过均值点，即；（3）回归的预测值的平均值等于实际值的均值，即。但注意这些代数性质只有在回归方程中包含了常数项下才成立。
