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1、一、概率分布律及分布函数,二、常见的离散型随机变量,1.5 离散型随机变量及其分布律,说明,一、概率分布律及分布函数,定义,离散型随机变量的分布律也可表示为,解,则有,例,分布函数,分布律,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,显然，这时F(x)是一个跳跃函数，它在每个xi处有跳跃度p(xi).,例 一袋中装有同质的3个白球和2个黑球，X表示从中任取2个球中的白球数，试写出X的概率分布律及分布函数.,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只取常数a，即PX=a=1,则称 X 服从 a处的退化分布.,1.退化分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的分布律为,则称 X 服从(0
2、1)分布或两点分布.,2.两点分布（Bernoulli分布),实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从(01)分布.,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.,说明,将试验 E 重复进行 n 次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这 n 次试验是相互独立的,或称为 n 次重复独立试验.,(1)重复独立试
3、验,3.二项分布,(2)n 重伯努利试验,伯努利资料,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否“出现 1 点”,就是 n重伯努利试验.,(3)二项概率公式,且两两互不相容.,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布的图形,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6,则击中目标的次数 X 服从 b(5,0.6)的二项分布.,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,例,解,图示概率分布,解,因此,例,使
4、得b(k;n,p)取到最大值的m为二项分布随机变量的最可能值或称为最大可能成功值.m=(n+1)p,注：当(n+1)p为整数时，b(m;n,p)=b(m-1;n,p)同时达到最大值。,例 保险公司为一单位500名员工办理了一年期医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为0.01，问保险期内最可能发生几次理赔，并求相应的概率。,4.泊松分布,泊松资料,泊松分布的图形,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X
5、 服从泊松分布.,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,泊松定理：,设1000 辆车通过,出事故的次数为 X,则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例 为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生
6、产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,例 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,发生故障时不能及时维修”,故有,即有,按第二种方法,故 80 台中
7、发生故障而不能及时维修的概率为,5.几何分布,引例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量,求X 的分布律.,解,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布,记为Xg(p).,几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.,说明1 几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.,说明2 几何分布具有无记忆性:,引例：某班有学生20名，其中有5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女同学人数X是一个随机变量，求X的概率分布.,6.超几何分布,一般地，如果有N个
8、元素分为两大类，第一类有M个元素，第二类有N-M个元素，采用不重复抽样，从N个元素中取出n个元素，那么所取到的第一类元素的个数X的分布称为超几何分布.,若随机变量 X 的概率分布为,则称 X 服从超几何分布.,超几何分布产生于不放回抽样，而二项分布产生于有放回抽样。在实际工作中，抽样一般都采用不放回方式，因此计算时应该用超几何分布。但是，当N较大时，超几何分布计算较繁琐。若产品总数N很大，而抽样的次数n相对于N很小时，超几何分布可以用二项分布来近似，即有以下定理：,定理 对于任意固定的n(1)，当N充分大时，则有:,定理在直观上还是比较容易理解的。因为当产品总数N很大而抽样的次数n相对于N很小
9、时，可以认为不放回抽样与有放回抽样的差别应该是很小的，即超几何分布可以用二项分布来近似。在实际计算中，一般当n0.1N 时，就可以运用以上的近似公式。,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、小结,超几何分布,作业：p68-6933、35、38,Jacob Bernoulli,Born:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),France,Simon Poisson,
