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1、1.3 简单几何体的表面积和体积,1、表面积：几何体表面的面积,2、体积：几何体所占空间的大小。,回忆复习有关概念,1、直棱柱：,2、正棱柱：,3、正棱锥：,4、正棱台：,侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高,斜高的概念,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，,棱柱、棱锥、棱台的表面积,它们的侧面展开图还是平面图形，,计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和,棱柱的侧面展开图是什么？如何计算
2、它的表面积？,h,正棱柱的侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,正三棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？,正五棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）,正四棱台的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱台的展开图,理论迁移,例1 求各棱长都为a的四面体的表面积.,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?
3、展开的图形与原图 有什么关系？,宽,长方形,圆柱的侧面展开图是矩形,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,扇形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,扇环,侧,圆台侧面积公式的推导,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么,圆台的侧面展开图是扇环,圆台,例2 一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的
4、外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升）？,15,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式,几何体占有空间部分的大小叫做它的体积,一、体积的概念与公理:,公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。,V长方体=abc,推论1、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。,V长方体=sh,推论2、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。,V正方体=a3,定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积 s 和高 h 的积。,V柱体=sh,二：柱体的体积,三:锥体体积,例2
5、：,如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.,答:可分成棱锥A-D1DC,棱锥A-D1C1C,棱锥A-BCD.,问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？,3.1锥体（棱锥、圆锥）的体积（底面积S，高h）,注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离,问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积,定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：,推论：如果圆锥的底面半径是，高是，那么它的体积是：,锥体,圆锥,h,x,四.台体的体积,V台体=,上下底面积分别是s/,s,高是h，则,推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高
6、是，那么它的体积是：,圆台 h,五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S为底面面积，h为柱体高,S分别为上、下底面面积，h 为台体高,S为底面面积，h为锥体高,例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？,V2956（mm3）=2.956（cm3）,5.81007.82.956252（个）,球的表面积和体积,:,球的表面积,理论迁移,例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.,
7、例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;,答：60,例2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积,例3：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.,分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,例4 圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为，求其侧面展开图扇环所对的圆心角,答：1800,例5：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）,例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D
8、1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=。,关键：,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？,例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R，截面O的半径为r，,例5
9、、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,作轴截面,题型一 几何体的展开与折叠 有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离.,题型分类 深度剖析,解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图所示），由题意知BC=3 cm，AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为5 cm.,题型二 旋
10、转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BAC=30)及其体积.先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.,解 如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC=,BC=R,S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解 如图为轴截面.设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则,题型三 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长 为，求这个三棱锥的体积.本题为求棱锥的体积问题.已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积.解 如图所示，正三棱锥SABC.设H为正ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.,连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.ABC是边长为6的正三角形，,
