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1、立体几何初步复习,圆柱的侧面积：,圆锥的侧面积：,圆台的侧面积：,球的表面积：,柱体的体积：,锥体的体积：,台体的体积：,球的体积：,常见结论,空间几何体的三视图和直观图,中心投影,平行投影,A,D,C,B,平行投影,斜投影,正投影,中心投影,从正面看到的图,从左边看到的图,从上面看到的图,三视图：我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形.其中，把从正面看到的图叫做正视图，从左面看到的图叫做侧视图，从上面看到的图叫做俯视图.三者统称三视图.,侧视图,正视图,正视图方向,俯视图方向,侧视图,正视图,1.确定正视图方向；,3.先画出能反映物体真实形状的一个视图(一般为正视图)；,4.运用
2、长对正、高平齐、宽相等原则画出其它视图；,5.检查.,2.布置视图；,要求：俯视图安排在正视图的正下方，侧视图安排在正视图的正右方.,侧视图方向,三视图的作图步骤,正视图方向,侧视图方向,俯视图方向,长,高,宽,宽相等,长对正,高平齐,正视图,侧视图,俯视图,1(2012福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱,答案：D球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.,斜二测画法的步骤,(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴
3、相交于O点.画直观图时，把它画成对应的x轴、y轴，两轴交于O，使，它们确定的平面表示水平平面,(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段,(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半,小结：“横同，竖半,平行性不变”,练习,1.对几何体三视图，下列说法正确的是：（）,A.正视图反映物体的长和宽,B.俯视图反映物体的长和高,C.侧视图反映物体的高和宽,D.正视图反映物体的高和宽,C,2.若某几何体有一种视图为圆，那么这个几何体可能是 _。,球,答案D,解析如图(1)为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系xO
4、y.,练习1 正方体ABCDA1B1C1D1，E是BB1上的点。画出平面AEC1和平面ABCD的交线。,一、平面的基本性质,如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内,公理1,用来判定一条直线是否在平面内,或直线上的点是否在平面内。,F,作用,如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线,公理2,1、用来判定两平面是否相交；2、画两个相交平面的交线；即:3、证明多点共线.,作用,知识探究:公理定理的简单应用,1、确定平面2、证明点、线共面。,公理3：,经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。,作用,推论1.一
5、条直线和直线外一点唯一确定一个平面。,推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。,推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。,二、空间两直线的位置关系,平行,相交,异面,共面,（两直线没有公共点）,（两直线只有一个公共点）,（两直线没有公共点）,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（也就是既不相交又不平行的两条直线）,1、异面直线,O,E,F,E,F,AE和BF是异面直线吗?,AE和CF是异面直线吗?,2.异面直线的画法:,通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面的特点,如图所示,a、b 是两条异面直线,在空间中任选一点O，过O点分别作 a、b的平行线 a和 b,则a和 b所成的锐
6、角,（或直角），称为异面直线a，b所成的角,也叫异面直线a，b 的夹角。,a,b,a,b,若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。,异面直线a与b垂直也记作ab,异面直线所成角的取值范围：,平移,3.异面直线成的角:,O,例2：,已知正方体的棱长为a,M 为 AB 的中点,N为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。,解：,如图，取A1B1的中点E,连BE,有BE A1M,取CC1的中点G，连BG.有BG C1N,则EBG即为所求角。,BG=BE=a，GE=a,由余弦定理，,cosEBG=2/5,在EBG中,E,G,若ab，bc,公理4 平行于同一直线的两直线互相平行,
7、则ac,5.平行关系的传递性,例1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线 AB与C1D1，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？,6.等角定理,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,右图平行六面体中与BAD相等的角是哪些角,为什么?与BAD互补的角是哪些,为什么?,知识探究:公理定理的简单应用,填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有_、_、_三种。2、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是 _直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有_。4、过已知直线上一点可以作_条直线与已知直线垂直。5、过已知直线外一点可以作_条直线与已知直线
8、垂直。,平行,相交,异面,平行,异面,无数,无数,相交、异面,三、直线和平面平行的判定和性质定理,1.直线和平面的位置关系有哪些？,（1）直线在平面内：,（2）直线与平面相交：,（3）直线与平面平行：,2.直线和平面平行的判定定理：,如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行，线面平行”）,3.直线和平面平行的性质定理：,如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线与交线平行.,(线面平行，线线平行）,所以，BEAF，BE 平面PAD，AF 平面PAD，根据线面平行的判定定理可得BE平面PAD.,4.如图所示，四棱锥P-A
9、BCD的底面是一直角梯形，ABCD，CD=2AB，E为PC的中点，求证BE平面PAD.,证明：取PD的中点F，连接EF，AF，由E，F为中点，所以EFCD且EF=CD，又ABCD，CD=2AB，故EFAB，且EF=AB，从而四边形ABEF为平行四边形，,F,解如右图，连结AC，设AC交BD于O，连结MO.,又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，APGH.,又MO 平面BDM，PA 平面BDM，PA平面BDM.,四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点又M是PC的中点，MOPA.,例2 如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G
10、和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.,如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。,2.直线和平面垂直的判定定理：,线不在多，重在相交！,如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。,1.直线和平面垂直的定义：,四.直线和平面垂直的判定和性质,判断对错,？,3.直线和平面垂直的性质定理：,性质1,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于平面的任意一条直线.,性质2,如果两条平行线中的一条与平面垂直,那么另一条也与这个平面垂直.,例2如图，圆O所在一平面为，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC,PA A
11、B,求证：（1）PA BC（2）BC 平面PAC,例1:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证：PO平面ABCD,五.两个平面平行的判定和性质,1.空间两个平面的位置关系,两个平面平行,两个平面相交,2.两个平面平行的判定定理,如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行。,3.两个平面平行的性质定理,1.如果两个平行平面和第三个平面都相交,那么交线互相平行,2.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。,2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证:平面AB1D1/平面C
12、1BD.,证明：因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以 BDB1D1.,因此，平面AB1D1平面C1BD.,又B1D1 平面AB1D1，从而BD平面AB1D1,同理可证 BC1平面AB1D1.又直线BD与直线BC1交于点B.,5、在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是PAB、PBC、PAC的重心，求证：平面DEF/平面ABC.,O,证明：连接PD并延长交AB于点M连接PE并延长交BC于点N，连接PF并延长交AC于O，连接MN，MOD，E分别为PAB、PBC的重心 DEMN又DE 面ABC，MN 面ABCDE面ABC，同理：DF面ABC又DEDF=D面DEF面ABC,六.两个平面垂直的判定
13、和性质,1.两个平面垂直的定义,(1)二面角,平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.,如图,二面角及表示方法.,二面角CAB D,二面角AB,二面角,(2)二面角的平面角,二面角的大小用它的平面角来度量,注意：,二面角的平面角必须满足：,3）角的边都要垂直于二面角的棱,1）角的顶点在棱上,2）角的两边分别在两个面内,4）二面角的范围是,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直二面角,
14、(3)两个平面垂直的定义:,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就称这两个平面互相垂直.,10,1.利用定义.,(4)二面角的平面角的作法,3.作棱的垂面.,2.利用三垂线定理及其逆定理.,练习：作出下列各图中的二面角的平面角：,二面角BB1CA,O,E,O,二面角A-BC-D,二面角C-AD-E,四棱锥中,取AB 的中点为E，连PE，OE,O为 AC 中点，ABC=90,OEBC且 OE BC,在RtPOE中，OE，PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值为,例1如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB
15、-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C 的平面角,在RtPBE中，BE，PB=1，PE,由三垂线定理知 PEAB,解：,OEAB，,做,证,指,求,答,两个平面垂直的判定定理:,定理6.2：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直.”,转化为线与面垂直,例：如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，C为O上异于A，B的一点.求证：平面PAC平面PBC.,证明：设O所在平面为，由已知条件，有PA，BC在内，所以，PABC因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为O的直径，所以，BCA90，即BCCA.又因为PA与AC是PAC所在
16、平面内的两条相交直线，所以，BC平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC平面PBC,平面与平面垂直的性质定理,如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.,E,如何用符号语言描述这个定理？,问题1:若，过平面内一点A作平面的垂线，垂足为B，那么点B在什么位置？说明你的理由.,A,点B一定落在交线上,平面与平面垂直的性质的应用,例2：如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC，求证：BCAB,E,证明：过点A作AEPB垂足为E平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBC=PB，AE平面PBCBC 平面PBC AEBC,PA平面ABC，BC 平面ABCPABC,PAAE=A，BC平面PAB,AB 平面ABC AB BC,空间直线和平面-位置关系,判定,性质,判定,性质,判定,性质,判定,性质,判定,性质,判定,性质,平行,垂直,位置关系,
