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1、第17章固定收益证券的久期与凸度计算,17.1基本概念,固定收益证券也称为债务证券，是指持券人可以在特定的时间内取得固定的收益并预先知道取得收益的数量和时间，如固定利率债券、优先股股票等。固定收益证券能提供固定数额或根据固定公式计算出的现金流。按照我国现在已有的固定收益证券的品种，可以把他们简单地分为4 类：信用风险可以忽略的债券，包括国债、央行票据、金融债和有担保企业债；无担保企业债，包括短期融资券和普通无担保企业债；混合融资证券，包括可转换债券和分离型可转换债券；结构化产品，包括信贷证券化，专项资产管理计划和不良贷款证券化。,1 交易日 交易日（trade date）就是买卖双方达成交易的
2、日期。2 结算日 结算日（settlement date）指买入方支付价格和卖出方交割证券的日期。3 到期日 到期日（maturity）指固定收益证券债务合约终止的日期。4 本金 本金（principal）有时称面值（par value），是指固定收益票面金额。一般情况下，债券的面值为100元。5 票面利率 票面利率（Coupon rate）即发行人支付给持有人的利息，有时也称名义利率（nominal rate）。,17.1基本概念,6 月末法则 月末法则（end of month ruler）指当债券到期日在某月的最后一天，如果该月天数小于30天，这时有两种情况：到期日在每月固定日期支付；票
3、息在每月的最后一天支付。MATLAB默认的是第种情况。7 起息日到交割日的天数 起息日到交割日的天数(Days from Coupon to Settlement,DCS）是指从计息日（含）到交割日（不含）之间的天数。注意：付息日作为下一个利息期限的第一天而不计入DCS。8 交割日距离到期日的天数 交割日距离到期日的天数(Days from Settlement to Maturity,DSM）:其一般规则是包括交割日而不包括到期日。这样买方有动力尽早交易，获得当天收益；卖方在交割当天就获得资金的使用权。,17.1基本概念,17.2价格与收益率的计算,17.2.1 计算公式,1 一次还本付息债
4、券的定价公式债券的价格等于来自债券的预期货币收入按某个利率贴现的现值。在确定债券价格时，需要估计预期货币收入和投资者要求的适当收益率（称必要收益率）。对于一次还本付息的债券来说，其预期货币收入是期末一次性支付的利息和本金，必要收益率可参照可比债券得出。如果一次还本付息债券按复利计息、按复利贴现，其价格决定公式为,式中：P为债券的价格；M为票面价值；i为每期利率；n为剩余时期数；r为必要收益率。,2 附息债券的定价公式对于按期付息的债券来说，其预期货币收入有两个来源：到期日前定期支付的息票利息和票面额。其必要收益率也可参照可比债券确定。为清楚起见，下面分别以一年付息一次和半年付息一次的附息债券为
5、例，说明附息债券的定价公式。对于一年付息一次的债券来说，按复利贴现的价格决定公式为,式中：P为债券的价格；C为每年支付的利息；M为票面价值；n为所余年数；r为必要收益率；t为第t次。,17.2.1 计算公式,3.到期收益率一般地讲，债券收益率有多种形式，以下仅简要介绍债券的内部到期收益率的计算。内部到期收益率在投资学中被定义为把未来的投资收益折算成现值使之成为购买价格或初始投资额的贴现率。对于一年付息一次的债券来说，可用下列公式得出到期收益率。,式中：P为债券价格；C为每年利息收益；F为到期价值；n为时期数（年数）；Y为到期收益率。,17.2.1 计算公式,17.2.2 债券定价计算,1 bn
6、dprice函数MATLAB的Financial Toolbox 提供计算债券价格的bndprice函数。函数语法：Price,AccruedInt=bndprice(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face)输入参数：Yield:半年为基础的到期收益。CouponRate:分红利率。Settle:结算日期，时间向量或字符串，必须小于等于到期日。Maturity:到期日,日期向量。Period:(选择项)，年
7、分红次数，默认值2，可为0、1、2、3、4、6、12。Basis:(选择项)，债券的天数计算法。默认值为0（实际值实际值），可为1（30/360）、2（实际值/360）、3（实际值/365）,EndMonthRule:(可选项)月末规则，应用在到期日是在小于等于30天的月份。0代表债券的红利发放日总是固定的一天，默认1代表是在实际的每个月末。IssueDate:(可选项)发行日期。FirstCouponDate:(可选项)第一次分红日。当FirstCouponDate和LastCouponDate同时出现时，FirstCouponDate优先决定红利发放结构。LastCouponDate:(可
8、选项)到期日的最后一次红利发放日。当FirstCouponDate没标明时，LastCouponDate决定红利发放结构。红利发放结构无论LastCouponDate是何时，都以其为准，并且紧接着债权到期日。StartDate:(可选项)债权实际起始日（现金流起始日）。当预计未来的工具时，用它标明未来的日期，如果没有特别说明StartDate，起始日是settlement date。Face:(面值)默认值是100元。输出参数：Price：价格（净价），全价=净价+结算日利息。AccruedInt：结算日的利息。,17.2.2 债券定价计算,例17.1三种固定收益证券,到期利率分别为4%、5%
9、、6%,票面利率为5%,结算日(或交割日)为1997年1月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底),计息方式为实际值/实际值,分别计算三种证券的价格及结算日的利息。代码如下:,%三种债券的到期收益率Yield=0.04;0.05;0.06;CouponRate=0.05;%交割日为1997-1-20Settle=20-Jan-1997;%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-2002;%利息分配为1年两次Period=2;%计息方式为（实际值/实际值）Basis=0;Price,AccruedInt=bndprice(Yield,CouponR
10、ate,Settle,Maturity,Period,Basis),17.2.2 债券定价计算,输出结果为Price=104.8106 99.9951 95.4384AccruedInt=0.4945 0.4945 0.4945,Matlab计算两个时间点之间的间隔天数的方式,%交割日为1997-1-20Settle=20-Jan-1997;%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-2002;A=datenum(Settle);B=datenum(Maturity);B-A,2.prdisc函数MATLAB的Financial Toolbox提供计算折价债券价格的prdisc
11、函数。函数语法：Price=prdisc(Settle,Maturity,Face,Discount,Basis)输入参数 Settle：作为序列时间号或日期串进入，必须早于或等于到期日；Maturity：作为日期串进入；Face：票面价值；Discount：债券的银行折现率，是分数；Basis：计算日期的基础。输出参数：Price：价格（净价）。,17.2.2 债券定价计算,例17.2固定收益证券,折现率为8.7%,结算日(或交割日)为1997年1月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底),计息方式为实际值/实际值,计算证券的价格。代码如下:,%交割日为1997
12、-1-20Settle=20-Jan-1997;%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-2002;%利息分配为一年两次Period=2;%计息方式为(实际值/实际值)Basis=0;%票面价格Face=100;%折价率Discount=8.7/100;%调用prdics函数price=prdisc(Settle,Maturity,Face,Discount,Basis);,17.2.2 债券定价计算,输出结果为：52.9962,17.2.3 债券收益率计算,MATLAB的Financial Toolbox 提供固定利率债券的到期收益率的bndyield函数，函数语法为：Yi
13、eld=bndyield(Price,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face)输入参数：Price：债券净价，全价=净价+结算利息。CouponRate：分红利率或票面利率。Settle：结算日期。时间向量或字符串，必须小于等于到期日。Maturity：到期日,日期向量。Period：（选择项）年分红次数，默认值2,可为0、1、2、3、4、6、12。Basis：（选择项）债券的天数计算法。默认值为0（实际值实际值），可
14、为1（30/360）、2（实际值/360）、3（实际值/365）。EndMonthRule：（可选项）月末规则，应用在到期日实际小于等于30天的月份。0代表债券的红利发放日总是固定的一天，默认1代表是在实际的每个月末。,IssueDate：（可选项）债券发行日期。FirstCouponDate：（可选项）第一次分红日。当FirstCouponDate和LastCouponDate同时出现时，FirstCouponDate优先决定红利发放结构。LastCouponDate：（可选项）到期日的最后一次红利发放日。当FirstCouponDate没标明时，LastCuponDate决定红利发放结构。
15、红利发放结构无论LastCouponDate是何时，都以其为准，并且紧接着债权到期日。StartDate：（可选项）债权实际起始日（现金流起始日）。当预计未来的工具时，用它标明是个未来的日期，如果没有特别说明StarDate,起始日是settlement date。Face：（可选项）面值。默认值是100元。输出参数：Yield：到期收益率。,17.2.3 债券收益率计算,例17.3三种固定收益证券,净价分别为104.8106元、99.9951元、95.4384元,票面利率为5%,结算日(或交割日)为1997年1月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底),计息方式
16、为实际值/实际值,分别计算三种证券的到期收益率。,%表面利率都为5%CouponRate=0.05;%交割日为1997-1-20Settle=20-Jan-1997%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-2002%利息分配为一年两次Period=2;%计息方式为(实际值/实际值)Basis=0;%债券价格为(列向量)Price=104.8106;99.9951;95.4384%调用bndyield函数Yield=bndyield(Price,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis),17.2.3 债券收益率计算,债券收益率与价格的关系
17、,%表面利率都为5%CouponRate=0.05;%交割日为1997-1-20Settle=20-Jan-1997%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-2002%利息分配为一年两次Period=2;%计息方式为（实际值实际值）Basis=0;Price=60:0.1:140;Yield=bndyield(Price,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis);plot(Price,Yield,.-);xlabel(Price);ylabel(Yield);title(FixIncome Price-Yield),17.3久期与凸度的
18、计算,17.3.1 债券久期计算,久期的概念最早是麦考利(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称麦考利久期（简记为D）。麦考利久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格，得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。式中：D是麦考利久期；B是债券当前的市场价格；PV（ct）是债券未来第t期现金流（利息或资本）的现值；T是债券的到期时间。需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算麦考利久期。计算发行时的
19、麦考利久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的麦考利久期，T（到期时间）小于债券的期限。,麦考利久期与债券价格的关系，对于给定的收益率变动幅度，麦考利久期越大，债券价格的波动幅度越大。式中：P为债券价格；P为债券价格变化；Y为到期收益率；Y为到期收益率变化；D为债券久期。到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的关键因素，与久期存在以下的关系：零息票债券的久期等于它的到期时间；到期日不变,债券的久期随息票据利率的降低而延长；息票据利率不变,债券的久期随到期时间的增加而增加；其他因素不变,债券的到期收益率较低时,息票债券的久期较长。,17.3.1 债券久期计算,1.根据价格计算久期MA
20、TLAB的FinancialToolbox提供了给定债券期限与价格计算久期的bnddurp函数。函数语法:ModDuration,YearDuration,PerDuration=bnddurp(Price,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face),17.3.1 债券久期计算,例17.5 三种固定收益证券,净价分别为104.8106元、99.9951元、95.4384元,票面利率为5%,结算日(或交割日)为1997年1
21、月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底),计息方式为实际值/实际值,分别计算三种证券的久期。代码如下:,17.3.1 债券久期计算,%三支债券的价格(必须）列向量Price=104.8106;99.9951;95.4384;%表面利率都为5%CouponRate=0.05;%交割日为1997-1-20Settle=20-Jan-1997%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-2002%利息分配为一年两次Period=2;%计息方式为（实际值实际值）Basis=0;%调用bnddurp函数ModDuration,YearDuration,Per
22、Duration=bnddurp(Price,.CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis),2.根据收益率计算久期 MATLAB的FinancialToolbox 提供了给定债券期限与收益率计算久期的bnddury函数。函数语法:ModDuration,YearDuration,PerDuration=bnddury(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face)将bnddu
23、ry函数中的Price参数修改为Yield即可。,17.3.1 债券久期计算,例17.6 三种固定收益证券,到期利率分别为4%、5%、6%,票面利率为5%,结算日(或交割日)为1997年1月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底),计息方式为实际值/实际值,分别计算三种证券的久期。代码如下:,17.3.1 债券久期计算,%三支债券的到期收益率 Yield=0.04;0.05;0.06;%表面利率都为5%CouponRate=0.05;%交割日为1997-1-20Settle=20-Jan-1997;%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-200
24、2;%利息分配为一年两次Period=2;%计息方式为（实际值实际值）Basis=0;%调用bnddurp函数ModDuration,YearDuration,PerDuration=bnddurp(Yield,.CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis),17.3.2 债券凸度计算,凸度是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。凸度是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。凸度越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。凸度的性质有：凸度随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利率越大，凸度
25、越大。利率下降时，凸度增加；对于没有隐含期权的债券来说，凸度总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降；含有隐含期权的债券的凸度一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。因为利率下降时买入期权的可能性增加了。,17.3.2 债券凸度计算,1.根据价格计算凸度 MATLAB的FinancialToolbox提供了给定债券期限与价格计算凸度的bndconvp函数。函数语法:YearConvexity,PerConvexity=bndconvp(Price,CouponRate,Settle,Matur
26、ity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate,LastCouponDate,StarDate,Face),例17.7三种固定收益证券,净价分别为104.8106元、99.9951元、95.4384元,票面利率为5%,结算日(或交割日)为1997年1月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底)，计息方式为实际值/实际值,分别计算三种证券的凸度。代码如下：,%三种债券的价格(必须)列向量Price=104.8106;99.9951;95.4384;%表面利率都为5%CouponRate=0.05;%交割日
27、为1997-1-20Settle=20-Jan-1997;%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-2002;%利息分配为一年两次Period=2;%计息方式为(实际值/实际值)Basis=0;%调用bndconvp函数YearConvexity,PerConvexity=bndconvp(Price,CouponRate,Settle,.Maturity,Period,Basis),17.3.2 债券凸度计算,17.3.2 债券凸度计算,2.根据收益率计算凸度 MATLAB 的FinancialToolbox 提供了给定债券期限与收益率计算凸度的bndconvy函数。函数语
28、法:YearConvexity,PerConvexity=bndconvy(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate,LastCouponDate,StarDate,Face)将bndconvp函数中的Price参数修改为Yield即可。,17.3.2 债券凸度计算,例17.8 三种固定收益证券,到期利率分别为4%、5%、6%,票面利率为5%,结算日(或交割日)为1997年1月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底),计息方式为实际值/实
29、际值,分别计算三种证券的凸度。代码如下:,%三支债券的价格(必须）列向量Price=104.8106;99.9951;95.4384;%表面利率都为5%CouponRate=0.05;%交割日为1997-1-20Settle=20-Jan-1997;%到期日为2002-6-15Maturity=15-Jun-2002;%利息分配为一年两次Period=2;%计息方式为（实际值实际值）Basis=0;%调用bndconvp函数YearConvexity,PerConvexity=bndconvp(Price,.CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis),17
30、.4债券组合久期免疫策略,证券的久期是从现金流动的角度考虑证券投资的本金与利息的实际回收时间,它表现为投资者真正收到该投资所产生的所有现金流量的加权平均时间。如果我们使得单个证券或证券组合的久期等于银行计划持有该证券或证券组合的期间长度,银行的投资组合就获得了免疫性。债券组合的久期计算公式为Duryk为第k个债券的久期;Wk为第k个债券市值占比权重。,债券组合凸度的计算公式Convpk为第k个债券的凸度；Wk为第k个债券市值占比权重。,例：根据债券投资组合中债券的基本信息，采用久期免疫策略构建组合久期为4年的债券组合，同时要求债券组合的凸度尽量小，,第一步：先计算每个债券的收益率，久期与凸度%
31、债券的价格(必须）列向量Price=98.04;100.05;101.3;95.6;103.6;%表面利率列向量CouponRate=0.05;0.06;0.062;4.50;6.30;%交割日为2012-5-29Settle=2012-5-29;%到期日为Maturity=2025-1-1;2018-7-1;2014-7-1;2016-7-1;2020-9-1;%利息分配为一年两次Period=2;%计息方式为（实际值实际值）Basis=0;%调用bnddurp函数,YearDuration,=bnddurp(Price,.CouponRate,Settle,Maturity,Period,
32、Basis);%调用bndconvp函数YearConvexity,=bndconvp(Price,.CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis)%显示结果YearDuration,YearConvexity;,第二步：建立优化问题模型,第k个债券的凸度,第k个债券的久期,第k个债券市值占比权重,进行线性规划求解%目标函数组合凸度最小,系数为每个债券的凸度%YearConvexity为列向量，表示转置为行向量f=YearConvexity;%优化模型没有线性不等式约束A=;b=;%优化模型等式约束，久期为4且系数和为1%Aeq等式约束系数为YearDuration为列向量，表示转置为行向量%Aeq*x=beqAeq=YearDuration;ones(1,5);beq=4;1;%变量上下届lb=0,0,0,0,0;ub=1,1,1,1,1;%给定搜索初始向量x0=0;0;0;0;0;%调用linprog求解线性规划 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0),知识脉络图,
