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1、第2章 Z变换及Z传递函数,2.1 Z变换定义与常用函数Z变换,2.1.1 Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数f*(t)即采样信号。对上式进行拉氏变换，则,对上式进行拉氏变换，则根据广义脉冲函数的性质，可得：,上式中，F*(s)是离散时间函数f*(t)的拉氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则 式中F(z)就称为离散函数f*(t)的Z变换。,在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时刻上的特性，而不能反
2、映两个采样时刻之间的特性，从这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函数f*(t)具有相同的Z变换。即,求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。1级数求和法 将离散时间函数写成展开式的形式 对上式取拉氏变换，得,例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。解：根据Z变换定义有,2部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为 因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出,例2.2 已知（a为常数）求F(Z)解：将F(s)写成部分分式之和的形式,2.1.2 常用信号的Z变换,2.1.2 常用信号的Z变换,2.2 Z变换的性质和定理,1线性
3、定理设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t)的Z变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有,2滞后定理设连续时间函数在t0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)，则有,3超前定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有,4终值定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有,5卷积和定理设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若定义则,6求和定理设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若有则,7初值定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有,8位移定理设a为任意常数，连续时间函
4、数f(t)的Z变换为F(z)，则有,9微分定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有,2.3 Z反变换,所谓Z反变换，是已知Z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为 Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和留数计算法,1长除法设 用长除法展开得：由Z变换定义得：比较两式得：则：,2部分分式法又称查表法，设已知的Z变换函数F(z)无重极点，先求出F(z)的极点，再将F(z)展开成如下分式之和 然后逐项查Z变换表，得到 则：,3留数法 设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换f(kT)值，可由下式计算 根据柯西留数定理，上式可以表示为 n
5、表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部极点的留数之和。,即：,2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解,单输入、单输出的计算机控制系统,n阶差分方程:或当k0时，y(k)=u(k)=0。,例2.8 若某二阶离散系统的差分方程为：设输入为单位阶跃序列。解：对差分方程求Z变换得,取Z反变换得,2.6 Z传递函数 2.6.1 Z传递函数的定义,设n阶定常离散系统的差分方程为：在零初始条件下，取Z变换 则G(z)就称为线性定常离散系统的Z传递函数。即：在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。,2.6.3 Z传递函数的求法,1用拉氏反变换求脉冲过渡函数2将g
6、(t)按采样周期T离散化，得g(kT)3应用定义求出Z传递函数，即 G(z)不能由G(s)简单地令s=z代换得到。G(s)是g(t)的拉氏变换，G(z)是g(t)的Z变换。G(s)只与连续环节本身有关，G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。为了讨论方便，将上述过程简记为,例2.9 已知 解式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据Z变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可得上式对应的脉冲传递函数为,2.6.4 开环Z传递函数,1串联环节的Z传递函数 串联环节的Z传递函数的结构有两种情况：种是两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号，如图2.3所示。
7、,G1(s),Y(s),T U(z),U(s),Y1(s),Y(z),图2.3串联环节间无采样开关,G2(s),G(z),输出Y(z)与输入U(z)之间总的Z传递函数并不等于两个环节Z传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个连续时间函数，即上式对应的Z传递函数为 上式中符号 是 的缩写，它表示先将串联环节传递函数G1(s)与G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。,另一种是两个环节之间有同步采样开关存在，如图2.4所示。,G1(s),T U(z),U(s),T Y1(z),G2(s),Y(z),图2.4串联环节间有采样开关,G(z),两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数约定义直接求出。
8、串联环节总的Z传递函数为,由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。在一般情况下，很容易证明：在进行计算时，应引起注意。,结论：n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节Z传递函数之积，即 如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数然后再根据G(s)求G(z)。一般表示成,2并联环节的Z传递函数 对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关，如图2.5所示。,G1(s),Y(s),T,U(s),Y1(s)
9、,Y(z),(b)采样开关在总输入端,G2(s),T,Y2(s),G1(s),T,U(s),Y1(s),(a)采样开关在各个环节输入端,G2(s),Y2(s),图2.5 并联环节,Y(s),Y(z),根据图2.5可知，总的Z传递函数等于两个环节Z传递函数之和，即 上述关系可以推广到n个环节并联时、在总的输出端与输入端分别设有采样开关时的情况。总的Z传递函数等于各环节Z传递函数之和，即,2.6.5 闭环Z传递函数,设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信号的Z变换为R(z)，误差信号的Z变换为E(z)，则有如下定义：闭环Z传递函数：闭环误差Z传递函数：,例2.11 设离散系统如图2.6所示，
10、求该系统的闭环误差Z传递函数及闭环Z传递函数。,Y(z),E(z),R(z),y(t),e*(t),r(t),e(t),T,H(s),G(s),图2.6 例2.11线性离散系统,解：G(s)与H(s)为串联环节且之间没有采样开关，则有 闭环误差Z传递函数：又：闭环Z传递函数：,2.6.7 在扰动作用下的线性离散系统,线性离散系统除了参考输入外，通常还存在扰动作用，如图2.9所示。根据线性系统的迭加原理，系统的输出响应y(t)应为参考输入r(t)和扰动作用f(t)分别单独作用所引起响应的迭加。,1当系统不存在扰动时的输出响应为 2当系统只存在扰动时，与之等效的方框图如图2.10所示。,F(s),U(z),u*(t),Yf(z),yf(t),f(t),G2(s),图2.10 扰动系统的等效方框图,D(z),T,G1(s),T,根据线性系统的迭加原理，系统只存在扰动时的输出响应为 取Z变换得：又 则,3在扰动作用下系统的输出响应为,
