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1、第2章 流变学的基本概念,主要内容,2.1 流体形变的基本类型2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义2.3 应力张量和应变张量2.4 本构方程和材料函数,第2章 流变学的基本概念,流变现象,力学行为,理想化模型,应力-应变(速率)的关系,流体均匀各项同性应力-应变亦如此,应力应变应变速率,2.1 流体形变的基本类型,三种最基本的形变类型：（1）拉伸和单向膨胀（2）各向同性的压缩和膨胀（3）简单剪切和简单剪切流,2.1.1 拉伸和单向膨胀,（1）拉伸和单向膨胀在拉伸实验中，流体元在拉伸方向上的长度增加，而在两位两个方向上长度则缩短。若L=L，M=M，N=N且=(L-L)/L,=(M-M)/M=(N
2、-N)/N则有=1+，=1-（、1）,称为应变，或拉伸应力方向上的应变。显然，拉伸时1，1，则有和均0；压缩时1，1，则有和均0；流体元的体积变化率：V/V=(1+)(1-)2-1-2,2.1.1 拉伸和单向膨胀,（2）各向同性的压缩和膨胀若压缩比则压缩应变=-1(0。流体元的体积变化率：V/V=3-1=(1+)2-13,2.1.2 各向同性的压缩和膨胀,2.1.3 简单剪切与简单剪切流,简单剪切中，顶面相对于底面发生位移w，高度l 保持不变，则变形可表示如下：=/l=tan=1若1,则,表示剪切应变（shear strain）剪切应变速率(剪切速率)：（shear rate）一个假设：在模型
3、推导和计算中，一般将流场中的流体都当作连续介质来处理。定义：由具有确定质量的、连续地充满空间的众多微小质点(微团)所组成的，微团之间无孔洞，在流体的流动形变过程中相邻微团永远连接，既不能超越也不能落后。,2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义,2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义（a）标量在选定了测量单位后，仅由数值大小所决定的物理量，与事件发生、发展的方向无关。如温度T、能量E、体积V、时间t等。（b）矢量在选定了测量单位后，由数值大小和空间的方向决定的物理量。如位置p、速度u、加速度a、动量mv、力F等。,2.2.1 标量、矢量、张量的物理定义,（c）张量在笛卡尔坐标系中，在一点处不同方向
4、上、具有不同量值的物理量，称为张量或笛卡尔张量。张量是矢量的推广，是比矢量更为复杂的物理量，如应力张量、应变张量、应变速率张量、取向张量等什么是笛卡尔坐标系？,笛卡尔坐标系 是直角坐标系和斜角坐标系的统称。.斜角坐标系通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样就构成了一个笛卡尔坐标。,2.2 标量、矢量和张量的定义,3.数学定义 不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关系：,标量：,矢量：,张量：,2.
5、2.3.1 几个特殊张量1）单位张量（克罗内克算子）,2.2.3 张量的运算,2）对称张量,张量的分量满足，则称这样的张量为对称张量。,2.2.3.1 几个特殊张量,3）并矢张量 将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：,并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。注意：两个矢量之间没有任何乘号，一般情况下，ABBA,2.2.3.1 几个特殊张量,2.2.3.2 张量的代数运算,1）张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对应相等，则两张量相等。2）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。,标量、矢量和笛卡尔张量的定义,3）张量与标量的乘（除）即把张
6、量的各个分量分别乘以标量,标量、矢量和笛卡尔张量的定义,4）向量和张量的乘积 向量与张量点乘，其积均为一个矢量。5）张量与张量乘积（单点积）张量与张量单点积得一张量：,2.2.4 张量的重要性,在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等于零，在所有笛卡尔坐标系中也为零。两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。如果某个张量方程在一个坐标系中能够立，那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一定成立。,2.3 应力张量和应变张量,1、物体受力的三种类型：（1）外力也称为长程力，指作用于物体上的非接触力，如重力、电场力、磁场力等；（2）表面力指施加在物体外表面的接
7、触力。是物体内的一部分通过假想的分离面作用在相邻部分上的力，即外力向物体内传递，常作为边界条件处理；,（3）内部应力想象将物体分割成许多微观尺度、足够小的单元，单元表面存在着相互作用力，称为应力。与流体微团相邻的流体质点直接施加的表面接触力，也称为近程力。单位：Pa、MPa、GPaT=,2.3.1 应力张量,在笛卡尔坐标系中，假设某点的作用力为F，则F总可以分解为X、Y、Z三个方向的分力Fx、Fy、Fz，若将之除以相对应微体积元面积，则可得到相应的应力Tx、Ty、Tz。再将每一个应力沿X、Y、Z三个方向进行分解，则得到以下分量形式：Tx=（Txx,Txy,Txz）Ty=（Tyx,Tyy,Tyz
8、）Tz=（Tzx,Tzy,Tzz）,应力张量Tij：应力张量分量下标i表示应力的作用面，j 表示应力的方向如Txy表示x面上的沿y 方向的应力,2.3.1 应力张量,通常将应力张量分解为两部分：流体形变有关的动力学应力，偏应力张量；张量的各向同性部分；,2.3.1 应力张量,2.3.1 应力张量,一些基本流变实验中的应力张量：a、（单向）拉伸实验作用力施加于试样的断面，且与断面所在平面垂直，因此，其应力为Txx，相应的应力张量为：Ttensile=,2.3.1 应力张量,b、各向同性的压缩定义：如果应力矢量T无论在什么方向上总是与分隔面(作用面)垂直，且其大小与分隔面的方向无关，则称为各向同性
9、。流体静止时（完全流体无论何时）内部的接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力也称为流体静压力。,2.3.1 应力张量,因此，在压缩实验中，其应力为Txx=Tyy=Tzz=P，其它剪切应力分量均为零。则相应的应力张量为：Tcompresion=,2.3.1 应力张量,c、简单剪切在剪切应力实验中，应力与作用面平行，为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必须施加相应的另一个剪切应力。总力矩为：,2.3.1 应力张量,因此，Txy=Tyx=f/S，则相应的应力张量为或Tshear=或,2.3.1 应力张量,变形前两点的相对位置可用下列矢量表示：,变形后的两点相对位置用下列矢量表示：,2.3.2
10、应变张量,变形前的距离为：,变形后产生的相对位移：,2.3.2 应变张量,变形前后两点的相对位置发生变化，其变化量分别为相对位移在坐标轴上的分量，其矩阵形式为:,无穷小位移梯度张量,分别表示各坐标轴方向上的单位伸长，即变形对各坐标的变化率。,2.3.2 应变张量,根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张量可分解为两部分：,应变张量,反对称二阶张量,2.3.2 应变张量,应变张量可简为：,可得到：,2.3.2 应变张量,第一不变量：,第二不变量：,第三不变量：,2.3.2 应变张量,.各向同性压缩 设笛卡尔坐标的原点在试样的角上，各边与坐标轴一致。,2.3.2 应变张量,.拉伸实验 笛卡尔坐标的原点在
11、物体的中心，各边与坐标轴平行。,2.3.2 应变张量,.简单剪切,2.3.2 应变张量,2.3.3 应变速率张量,在流动过程中，与流体应力状态相关的更重要物理量，往往不是形变的大小，而是形变进行的速率，它与流动场中的速度梯度密切相关。设在某一瞬时位形，流体内的流动速度场为，则定义速度梯度张量如下：,2.3.3 应变速率张量,描述流动会涉及应变速率张量，则为,2.3.3 应变速率张量,是应变速率张量，表征了材料形变的速率。,是反对称张量，称旋转速率张量，与材料的形变无关。,例1 简单剪切流场中的形变率张量,2.3.3 应变速率张量,2.3.3 应变速率张量,任一瞬间流体的运动可以分解为以下四种运
12、动：1、平动2、整体刚性转动3、产生拉伸应变速率的运动4、产生剪切应变速率的运动,应变速率张量的性质,a.对称性；b.应变速率张量随坐标转动而变换；c.应变张量也有三个不变量。,2.3.3 应变速率张量,如果，则流体无体积变化,如果，则流体体积膨胀,如果，则流体体积压缩,2.3.3 应变速率张量,2.4 本构方程和材料函数,牛顿第二定律：F=m.a应力张量 应变张量(应变速率张量)本构方程（constitutive equation）定义：一类联系应力张量和应变张量或应变速率张量之间的关系方程。联系的系数通常是材料常数，如黏度、模量等建立本构方程是将计算方法引入流变学的关键，可以说是流变学最重
13、要的任务?=G,2.4 本构方程和材料函数,材料函数可看作本构方程的特殊情况，即某一给定的特定的应力分量与应变分量之间的关系。通常表现为联系应力和应变相应分量的各种经验方程；通常决定于应力、应变测量范围内的多种因素根据不同的材料体系，往往会表现出各种不同的材料函数。,2.4 本构方程和材料函数,=0 刚性体（欧基里德体）=G，G是常数 线性弹性体=G()，G是常数 非线性弹性体=f(、t)黏弹体=()非线性黏性流体（非牛顿流体）=,是常数 线性黏性流体（牛顿流体）=0 无黏性流体（帕斯卡流体）,2.4 本构方程和材料函数,非线性流体的三种类型：（1）非时间依赖性非牛顿流体剪切速率是该点剪切应力的某种函数，与时间等因素无关；（2）时间依赖性非牛顿流体剪切应力-剪切速率的函数关系与作用时间密切相关；（3）黏弹流体兼具固体和液体二者的特性，形变之后表现出部分弹性回复。,
