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1、第一讲 速算与巧算(二),定义：在数学运算中，根据数的某些特点，利用一些法则、定律进行合理、快速、巧妙的简捷算法，简称为速算与巧算。,在速算与巧算中常用的三大基本思想：,1.凑整（目标：整十 整百 整千.）,2.分拆（分拆后能够凑成 整十 整百 整千.）,3.组合(合理分组再组合),在速算与巧算中常用的解题思路（四大步骤）：,1.凑整法（目标：整十 整百 整千.）,2.改变运算顺序（加法交换律和乘法交换律的运用,3.运用运算定律（主要是运用乘法分配律及逆运用,4.综合运用：（即以上三大思想和一些公式的运用）,常见运算定律及其方法：,1、加法交换律：,2、加法结合律：,两个数相加，交换加数的位置
2、，它们的和不变。即：a+b=b+a一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。即：a+b+c+d=d+b+a+c,几个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c),常见运算定律及其方法：,3、乘法交换律：,4、乘法结合律：,两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。即：ab=ba一般地，多个数相乘，任意改变相乘的次序，其积不变。即：abcd=dbac,几个数相乘，先把前两个数相乘，再乘上第三个数；或者，先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。即:abc=(ab)c=a(bc),5
3、、乘法分配律及其逆运用：,两个数相加(或相减)再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数或减数相乘，再把两个积相加或相减，得数不变。即:a(b+c)=ab+bc,(a+b)c=ac+bc,a(b-c)=ab-bc,(a-b)c=ac-bc,1.利用乘法结合律进行凑整,利用乘法结合律，把两个因数相乘积是整十、整百、整千的先进行计算，使计算简便。为了计算迅速，可以把有些较常用的乘法算式记熟。例如：25=10，254100，12581000，62516=10000即我们在进行乘法计算时，为了凑整看到5找2，看到25找4，看到125找8，看到625找16，如果找不到2,4,8,16,则找它们的倍数（拆分
4、原理）。例1 计算236425 解：236425 236（425）236100 23600例2 125282554 解：原式（1258）（254）（52）100010010 1000000,1乘法结合律凑整法练习,练习 计算：计算 2425 56125 1255325解：式=6（425）=6100=600式=78125=7（8125）=71000=7000式=1255485=（1258）（554）=1000100=100000,2、利用乘法分配律进行凑整,（1）利用乘法分配律，把公因式提取后，对括号内的数进行凑整，如果没有公因式，利用拆分原理把公因式拆出来，再提取公因式。例3 计算：（1）17
5、53417566（2）67126735675267（3）873649873640873688解：（1）原式175（3466）175100 17500（2）把67看作 671后，利用乘法分配律简算。原式67（1235521）671006700（3）原式8736（494088）873618736,2、利用乘法分配律进行凑整,（2）间接利用乘法分配律进行巧算：把一些接近整十整百整千的数进行凑整，根据多加则减，少加再加；多减则加，少减再减原则进行，然后再利用乘法分配律进行运算。例4计算（1）2699（2）1236199（3）713101 解：（1）由991001，原式26（1001）26100261
6、260026 2574（2）由1992001，原式1236（2001）123620012361 247200120036 24600036 245964（3）原式713（1001）7131007131 71300713 72013,3、几种常见的特殊因数乘积的巧算,（1）任何一个自然数乘以0，其积都等于0。例5 计算13264279420315 解：原式13260315 1011（2）在乘法算式中，任何一个数乘以1，还得原来的数。例6 计算873649873640873688 解：原式8736（494088）87361 8736（3）求一个数乘以5的积，实际上就是乘以10的一半，因此可以把被乘
7、数末尾添上一个0（扩大10倍），再把所得的数除以2（减半）即可。例7 计算128647325 解：原式1286473202 64323660,3、几种常见的特殊因数乘积的巧算,（4）一个数乘以11的简便算法：头做头，尾做尾，头尾相加做中间数，如果满10、满100等要进1。相加时的头尾数：头即为去掉尾数之后的数，尾即为去掉头数之后的数。例8计算（1）1311（2）7611（3）12811（4）19811 解：1311143 7611836 12811=1408 19811=2178这种乘以11的速算总结成一句话：“两边一拉，中间相加”。,3、几种常见的特殊因数乘积的巧算,（5）个位数字是1的两个
8、两位数的乘法：在两个十位数字的积的后面，添上它们的和，如果满10、满100等要进1，再添上1）例9计算（1）2171（2）3171（3）4181（4）5191 解：（1）2171=1491（2）3171=2201（3）4181=3321（4）5191=4641,3、几种常见的特殊因数乘积的巧算,（6）十位数字是1的两个两位数的乘法：用一个数加上另一个数的个位数字，乘以10，再加上两数的个位数字的积，其和就是所求的积。例9计算（1）1213（2）1917（3）1318（4）1516 解：（1）1213=156（2）1917=323（3）1318=234（4）1516=240,3、几种常见的特殊因
9、数乘积的巧算,（7）头同尾合十的两个两位数的乘法：先用两个因数的个位数字相乘，并把积直接写在末尾，如果积不满10，十位上补0，然后再将两个因数的十位数字乘以它本身加1的和，积写在两个数字相乘的积的前面。例10计算（1）5456（2）9595（3）6268（4）7179 解：（1）5456=3024（2）9595=9025（3）6268=4216（4）7179=5609,3、几种常见的特殊因数乘积的巧算,（8）尾同头合十的两个两位数的乘法：先用两个因数的个位数字相乘，并把积直接写在末尾，如果积不满10，十位上补0，然后再将两个因数的十位数字相乘的积加上个位数字的和，写在两个数字相乘的积的前面。例11计算（1）4565（2）5959（3）2686（4）8121解：（1）4565=2925（2）5959=3481（3）2686=2236（4）8121=1701,小结：,乘法凑整法中使计算简便的一般方法：运用乘法分配律、结合律凑整；几种常见的特殊因数乘积的巧算（将来我们还会学到更多）。,
