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1、第三章 多自由度系统的振动,主要内容：多自由度系统动力学方程的建立；多自由度系统的固有频率和模态；频率方程的零根和重根情形；多自由度系统的响应。,建模方法1：,将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。,要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。,例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动,缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响,优点：模型简单,分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。,引言,建模方法2：,车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。,优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合,缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响,建模方法
2、3：,车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼,优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确,问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？,3.1 多自由度系统运动微分方程,一、动静法,与单自由度系统类似，我们仍然可以用牛顿第二定律或者达朗贝尔原理，建立各质点的动力平衡方程，先看下面的例子。,例1：试建立下图所示弹簧质量系统的动力学方程。,1、刚度法,解：分别取出二个质点的受力图，如下图,根据达朗贝尔原理，有,把两个方程并到一起，写成矩阵形式有,例2：以静力平衡位置为基准，建立图示系统的运动微分方程。,于是得运动微分方程,即,写成矩阵形式,刚度系数可用结构力
3、学方法求得，注意其物理意义。,2、柔度法,对某些系统，其刚度矩阵的元素可能不太容易求得，而其柔度系数相对来说比较容易求得，而刚度系数和柔度系数之间具有一定的关系，这时我们可以用柔度法求解。,柔度法的思想是将惯性力作为一种外力，将系统在任何时刻的位移都看作是由外力和惯性力共同产生的，于是我们可以想办法求系统的位移，得到位移方程。,例1：图示两自由度简支梁，不计梁的质量，试建立其动力学方程。已知梁的弯曲刚度为,柔度系数，其物理意义为：对系统的第j个广义坐标方向施加一个单位力时，在第i个广义坐标方向产生的位移。,解：用柔度法,利用材料力学公式或结构力学图乘法有,动力学方程为,例2：试建立图示结构的运
4、动方程。,解：,取图示的位移为未知量,用柔度法,其中,写成矩阵形式，有,二、Lagrange方程方法,将平衡位置取作广义坐标的零值，则广义坐标也表示系统相对平衡位置的偏移。当系统在平衡位置附近作微振动时，广义坐标及其导数均为小量。设势能V在平衡位置处也取零值，将V在平衡位置附近展成泰勒级数，只保留广义坐标的二级微量，导出：,显然有,只讨论系统的稳定平衡状态时，势能在平衡位置处取孤立极小值，则势能表达式为广义坐标的正定二次型。,设系统受定常约束，其动能T为广义速度的二次齐次函数,除非广义速度全部为零，动能均应为正实数，因此动能表达式为广义速度的正定二次型。,动能和势能还可以写成如下的矩阵形式,显
5、然，质量矩阵为对称正定方阵，以后可以知道，刚度矩阵为对称的半正定矩阵。,拉格朗日函数,则有,拉格朗日方程,将动能和势能代入，导出多自由度系统的动力方程,例1：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。,解：系统的动能和势能为,代入Lagrange方程,得,例2：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。,解：选图示的广义坐标,代入拉格朗日方程，注意此时没有非保守力，得,微小振动,线性化,即,例3：图示的多刚性杆悬挂系统作微幅摆动，试建立其运动微分方程组。,解：选图示的广义坐标,代入拉格朗日方程，得,将其线性化后为,即,例4：建立图示汽车底盘模型的动力学方程，假设车身的刚性杆AB长为l，
6、质量为m，绕质心的转动惯量为J。,解：选图示的广义坐标,代入拉格朗日方程，得,讨论：,、参考点为杆的质心，令,则：,2、参考点特殊位置，设,则：,可见动力方程组的形式与广义坐标的选取有着密切的关系。,思考：两个矩阵的非主对角元素为零意味着什么？,三、耦合与坐标变换,矩阵中非零的非对角元素称为耦合项,质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合,以两自由度系统为例,不存在惯性耦合,如果系统仅在第一个坐标上产生加速度,可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力。,同样道理，
7、不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力。,耦合的表现形式取决于坐标的选择。,问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？,即：,若能够，则有：,方程解耦，变成了两个单自由度问题。,使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。,结论：,假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变换关系：,其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：,那么在坐标Y 下的运动微分方程为：,如果恰巧Y 是主坐标：,对角阵,这样的T 是否存在？如何寻
8、找？,四、影响系数法和系统的特性矩阵,一般说来，一个多自由度系统的动力平衡方程均可写成如下的形式,写成矩阵形式,刚度形式,或者,柔度形式,令动力方程中Q=0，得到保守系统自由振动的动力学方程。,其中 矩阵称作系统的动力矩阵，D不是对称矩阵。,或,式中,上式中,广义坐标列阵,质量矩阵(Mass Matrix),刚度矩阵(Stiffness Matrix),柔度矩阵(Flexibility Matrix),考虑静变形的特殊情况，令,考虑特殊情况，,在明白这些元素的物理意义之后，有时我们可以先写出动力方程的形式，然后想法求其中的这些元素，这种方法也称作是影响系数法。,比如此例，先只考虑静态，令,得,
9、令,有,于是得到刚度矩阵,只考虑动态，令,令,得质量矩阵,因为此时,故有动力学平衡方程,即,例1：图示两自由度系统，不计弹簧和摆长的质量，试建立下图所示混合摆的动力学方程。,解：选定图示的广义坐标,先求刚度系数,令,令,求质量系数,令,令,运动微分方程为,例2：每杆质量m，杆长度l，水平弹簧刚度k，弹簧距离固定端 a。,令：,则需要在两杆上施加力矩,分别对两杆 O1、O2 求矩：,令：,则需要在两杆上施加力矩,分别对两杆 O1、O2 求矩：,刚度矩阵：,令：,则需要在两杆上施加力矩,则需要在两杆上施加力矩,令：,质量矩阵：,运动学方程：,例3：,解：设水平、竖向位移为x、y，分别向右、向下为正。,例4：试分别用求柔度系数法和刚度系数法建立图示结构的运动方程。各杆长度为l，抗弯刚度为EI。,用柔度法,整理得到以矩阵方程表示的动力学方程,刚度法,取质量为隔离体，受力图如右图,其中的刚度系数可类似位移法求得,1,1,M1,M2,M3,M4,注：求刚度系数还是柔度系数，取决于结构的刚度系数和柔度系数哪个更便于求解。,特性矩阵的性质,对称性,反力互等定理,位移互等定理,反力互等定理,正定性,正定,半正定,动能,势能,势能还可以用外力功代替,正定,
