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1、第4讲 单位根检验,在ARMA模型中使用自相关函数递减判断序列平稳性，有时不准确，故正式的计量检验很必要。单位根检验是上世纪6070年代由Dicky和Fuller提出的，至今已有多种检验方法可供我们使用，此类研究已成为计量经济学的热点问题之一。试问：我国1980年1月2006年6月间的CPI通货膨胀率，是否弱平稳（理论上应是）？上下波动较大，显示不平稳。需严格的统计检验。,1、单位根的定义,考虑一个简单的AR(1)模型，即（3.1）其中，是方差为 2 的白噪声过程。因为可逆的ARMA模型总可写成AR模型，故研究AR模型有代表性。DF检验只考虑AR(1)，之后的ADF检验会把AR(1)拓展到AR
2、(p)。注意：在DF检验过程中，一般把（3.1）先改写成 其中，DF检验共有以下三种情况：,分别为随机游走过程、带截距和既带截距又带时间趋势的随机游走过程。情况 I 实际不常见，使用价值不大，只是理论研究的兴趣。注意：三种对应的原假设相同，即待检验序列为含有单位根的非平稳序列，而I和II的对立假设是平稳序列，III对应的则是趋势平稳序列。,注意：I、II、III至于选择哪种情况，要依据考察数据的特征，显然III是最一般的情况.如果无法确定是否存在时间趋势，就可以分别选用情况II和III进行检验，然而如果确信无时间趋势，就可直接选用II。,另外，虽然对二非平稳（甚至是严重非平稳）序列建立回归模型
3、，会破坏经典回归的基础和有效性，但不一定能发现问题。可能建立的模型的t，F以及R2都很正常，模型的显著性和拟合优度都很好，这就产生了所谓的“伪回归”。,事实上，大多数时序非平稳的原因都是因为包含单位根过程，因此，现代计量经济分析主要通过检验是否存在单位根，来检验序列的平稳性。,例1：建年度文件：19521996，调入book5.5中的y（我国社会商品零售总额）。再调入book12中的一个数据，起名y1（我国商品的物价指数）。其时序图分别为：,我国社会商品零售总额 我国商品的物价指数,表面看y和y1的图像很像，实际上，指数不可能无止境上升，因为如果把97、98年及以后的数据放入，就会发现从97年
4、以后开始下滑。为此，需讨论趋势类型：,对于，其原假设H0：；H1：,为检验H0，构造统计量：,注意：严格来讲，该统计量并不是标准的t分布，它服从非标准和非对称的极限分布，记为。,为此，DF通过不断模拟，依显著性水平和样本容量得到一个临界值。因分布偏态且不对称，可根据计算出的统计量与得到的临界值比较。(1)若统计量实际计算值小于临界值，则拒绝H0，即序列是平稳过程；(2)若大于临界值，则接受H0，说明序列是单位根过程。,4、单位根检验,注意：（1）选Level/None,（3）在Maximum Lags处填写0。则：,接例1：建年度文件：19521996，调入book12中的一个数据，起名y1（
5、我国商品的物价指数）。,统计量值 为6.654372，而对应1%、5%、10%的临界值分别为-2.618579、-1.948495、-1.612135，显然 t 值大于所有临界值，所以，接受原假设，即认为原序列y1是一个单位根过程。,1）y1带常数项：,2）y1既带趋势也带常数项：,显然，上述二情况均为 大于临界值，即接受原假设，说明序列是一个单位根过程。,下面对y1一阶差分和二阶差分：一阶差分情况：1）一阶差分选None,易见，在水平10%下，-1.759193-1.612036，通过检验，即平稳。,2）一阶差分选Constant,显然，值都大于临界值，表明各水平下都是单位根过程。,同样，值
6、都大于临界值，表明各水平下也都是单位根过程。,3）一阶差分选Trend and intercept,二阶差分情况：1）二阶差分选None,可见，二阶差分均平稳。,但是，二阶差分序列做模型会更麻烦。,在 两边同减 得：定义，则变成检验，这是一阶自相关的情况。,如果存在高阶自相关，比如AR（p），其所有的系数均应小于1，它的特征方程=0 的根均应在单位园外。,即本来有p个根，有一个是单位根（即在单位园上），p-1个在单位园外，这样就把一阶自相关的情况拓展到p阶高阶自相关，这就是DF检验的扩展ADF检验。,试想：对上例，物价指数仅仅是一阶自相关吗？,为此，选一阶差分和None以及最大滞后阶数为1。得
7、如下表：,可见，已平稳。故需做AR(2)。,下面做一个截面的深交所1998年246个交易日的数据。,例2：建立文件：246个数据，导入book10中的5个数据，x1、x2、x3、x4、x5。,先分析一下x4（工业类股指），做单位根检验：发现原序列是一个单位根过程。但若选择一阶差分，则不论是None、Intercept还是Trend and intercept都通过检验，即平稳。单位根检验为考察序列有无趋势又提供了一个工具，这个工具比自相关更严格。且利用单位根检验可进一步确认序列是否有趋势，而且可把趋势类型区分开。例3：月度数据文件：1981：01到1997：12，调入book消费品指数中的1个
8、数据y。对y，选None，最大滞后阶数为0，输出下表：,可见，检验未通过。试问：要差分吗？但实际上，y无趋势（如图），,注意：（1）若对原序列y，选None没通过检验，此时应先考虑带常数项或趋势项，若能通过检验，就不需要差分。因为如果差分，虽通过检验平稳，但模型会复杂化。,故不能盲目差分。,（2）加常数项平稳，说明可做AR或MA模型，即AR模型中含有一个常数项，即模型为。,试问：前面做ARMA或ARIMA模型时，为什么没加常数项？（3）在做一般模型时：（随机游走）（1）（AR）（2）（截面回归）（3）,需要注意的是：上述模型均要求误差项 为i.i.d。否则，需调整模型。调整方法如下：1）若破坏
9、独立性，可调整主模型 对于（3），导致DW检验没通过或自相关的原因可能是：模型遗漏了重要的解释变量，加入遗漏的变量即可。对于（2）类似，可考虑增加AR项，甚至加进MA项。,2）若破坏同方差，调整主模型可能无效，这时需对残差建模。以上是模型调整的两个思路。同例2：建立文件：246个数据，导入book10中的5个数据，x1、x2、x3、x4、x5。x4深交所1998年246个交易日工业类收盘价指数。x4的时序图：,回顾：上面做单位根检验时，它是一阶差分平稳。为此，最好先取对数再差分（即变成对数收益），输入：genr ly=log(x4)genr e=ly-ly(-1)则e的时序图为：,可见，已经平稳。,但是，取对数并差分后的序列是否独立？其自相关如下表：,可见，不相关程度p值比较高。,注意：i.i.d不仅考虑它有无线性关系，还要考虑有无非线性关系。为此，输入：genr e2=e2。,显然，存在同方差性。另外，再看e2的自相关，如下图：,则e2的时序图：,明显二阶自相关，说明取对数并差分后的序列不独立，且不同方差，即不独立同分布，虽然它的 和 线性相关性不明显，但其二次相关非常明显，故存在自相关。,如果问题出在 上，可修改主模型。但现在问题出在 上，麻烦！,这就产生了ARCH模型。其前提：残差的平方是时变的。,
