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1、第 7 章 位 移 法,7-2 等截面直杆的刚度方程,7-3 无侧移刚架的计算,7-4 有侧移刚架的计算,7-5 位移法的基本体系,7-6 对称性的应用,7-7 支座移动和温度改变时的计算,7-8 小结,7-1 位移法的基本概念,7-1 位移法的基本概念,1 关于位移法的简例,对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移。,若求出位移，则各杆件的变形和内力都可求出。,取位移作为位移法基本未知量。,第一步，从结构中取出一个杆件 进行分析。,杆件的刚度方程,第二步，把各杆综合成结构。,各杆的杆端位移与基本位置量的关系为,变形协调条件,考虑结点B的平衡条件,位移法的基本方程,解方程，得,位移法的要点,
2、（2）位移法的基本方程平衡方程。,（1）位移法的基本未知量结点位移。,（3）建立基本方程的过程分为两步：结构拆成杆件，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程。再把杆件综合成结构，进行整体分析，得出位移法基本方程。,（4）杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。因此位移法也叫做刚度法。位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或超静定而有所不同。,（2）建立位移法基本方程,（1）基本未知量A 和。,2位移法计算刚架的基本思路,刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。,杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。,正负号规则,7 2 等截面直杆的刚度方程,杆端剪力（杆端横向力）FQ
3、AB、FQBA 绕杆端顺时针转向为正。,结点转角 A、B、弦转角（=/l)和杆端弯矩（杆端力矩）M AB、M BA一律以顺时针转向为正；,1 由杆端位移求杆端弯矩,若,杆件的线刚度,统称弯曲杆件的刚度方程,转角位移方程,（1）B端为固定支座,（2）B端为铰支座,（3）B端为滑动支座,载常数：荷载作用下的固端弯矩和固端剪力。,2由荷载求固端弯矩,三种基本杆件（1）两端固定的梁；（2）一端固定、另一端简支的梁；（3）一端固定、另一端滑动支承的梁。,如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位移，根据叠加原理，杆端弯矩及剪力为：,如果刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移，这种刚架叫做
4、无侧移刚架。,解（1）基本未知量 B,杆端弯矩计算式为：,（2）固端弯矩为：,73 无侧移刚架的计算,连续梁的计算也属于无侧移问题。,例,AB杆,BC杆,AB杆,BC杆,（4）求出基本未知量：,（5）求出各杆最终杆端弯矩：,（3）建立位移法基本方程,位移法的基本方程：,列B点力矩平衡方程：,小结：位移法的基本作法是先拆散，后组装。组装的原则有二：首先，在结点处各个杆件的变形要协调一致；其次，装配好的结点要满足平衡条件。,（6）作弯矩图。,解,（2）固端弯矩为：,例 7-1 作图示刚架弯矩图。,B、C,（1）基本未知量,各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则,杆端弯矩计算式为：,（3）建立位移法
5、基本方程,结点C力矩平衡：,结点B力矩平衡：,（4）求出基本未知量,（5）求出各杆最终杆端弯矩：,（6）作弯矩图。,刚架分为无侧移和有侧移两类。有侧移刚架除有结点转角外，还有结点线位移。,74 有侧移刚架的计算,1 基本未知量的选取,计算有侧移刚架的基本思路与无侧移相同，具体做法上增加了一些新内容：,（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的方程。,结点角位移：刚结点、刚绞结点的刚结点部分。,结点线位移：位移法中忽略轴力对变形的影响。,观察法,如何确定独立线位移？,只有一个线位移，全部未知量有三个,只有一个线
6、位移，全部未知量有一个,有两个线位移，全部未知量有两个,铰结体系法,原结构的独立结点线位移的数目=铰结体系的自由度数=为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数。,小结：1、用位移法计算有侧移刚架时，基本未知量包括结点转角和独立结点线位移。2、结点转角的数目等于刚结点的数目，独立结点线位移的数目等于铰结体系的自由度的数目。3、在选取基本未知量时，由于既保证了刚结点处各杆杆端转角彼此相等，又保证了各杆杆端距离保持不变，满足变形连续条件。,（2）杆端弯矩：,（1）基本未知量,2 基本方程的建立,B、,（3）建立基本方程：,小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。基本未知量中每一个转角有一个
7、相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部基本未知量。,（4）解方程组,得,（6）作弯矩图（略）,B=0.737/i=7.58/i,（5）各杆最终杆端弯矩（略）,例7-2 作图示刚架弯矩图。忽略横梁的轴向变形。,解:（1）基本未知量：各柱顶水平位移相等，只有一个独立线位移。,（2）各柱的杆端弯矩和剪力为：,与横梁水平位移对应，取柱顶以上横梁为隔离体,（3）建立位移法基本方程：,列出水平投影方程：,（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：,（6）讨论,侧移刚度,（5）各柱的剪力为：,荷载FP（=总剪力）按侧移刚度分配给各
8、柱，得各柱剪力，可画弯矩图。-剪力分配法,例 7-3 作图示刚架内力图。,解,（2）固端弯矩,各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则,（1）基本未知量,刚结点B、C的转角B、C柱顶的水平位移。,杆端弯矩计算式为：,结点C力矩平衡：,结点B力矩平衡：,（3）建立位移法基本方程,（4）解方程组,得,B=0.94 C=-4.94=-1.94,（5）最终杆端弯矩为：,（6）作内力图,由杆端弯矩作M图。,由每个杆件的隔离体图，用平衡方程求剪力，作FQ图。,由结点的平衡方程求轴力，作FN图。,（7）校核,在位移法中，一般以校核平衡条件为主。,75 位移法的基本体系,统一用表示位移法的基本未知量；,位移法基
9、本体系：在原结构上增加与基本未知量相应的人为约束，从而使基本未知量由被动的位移变成受人工控制的主动的位移。,位移法基本结构：在原结构上增加与基本未知量相应的可控而得到的结构。,如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等于零。,（1）1=1单独作用时，附加约束的反力k11、k21。,k11=6i+4i=10i,k21=-6i/h=-1.5i,附加刚臂上的约束力以顺时针为正。附加支杆上的约束力以读者规定的线位移方向为正,（2）2=1单独作用时，附加约束的反力k12、k22。,k12=-1.5i,k22=3i/4+3i/16=15i/16,（3）荷载单独作用时，附加约束的反
10、力F1P、F2P。,F1P=qh2/12=4,F2P=-qh/2=-6,将三种情况下的附加约束反力叠加，得,位移法方程为,位移法典型方程的物理意义 基本结构在荷载和结点位移作用下，总附加约束反力等于零,将求得的系数和自由项代入方程，求解得,将三种情况下的弯矩图叠加,对于n个基本未知量问题，位移法方程为,位移法典型方程,结构的刚度矩阵,kii主系数，恒大于零；,kij=kji副系数，可正、可负、可为零；,作用在对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载；在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的；在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的
11、，而剪力图是对称的。利用这些规则，计算对称结构时，可只取半边结构。,76 对称性的应用,(1)对称荷载,1 奇数跨对称结构,在对称轴截面上，没有转角和水平位移，可有竖向位移。,(2)反对称荷载,在对称轴截面上，没有竖向位移，可有转角和水平位移。,2 偶数跨对称结构,(1)对称荷载,在对称轴截面上，没有转角和水平位移，由于不计轴向变形，也没有竖向位移。,(2)反对称荷载,柱CD只有弯曲变形，可按抗弯刚度分成两个柱子。,C处的支杆对弯矩不起作用。,例 7-4 作图示结构內力图。吊杆的EA等于横梁EI的1/20m2。,解,（2）基本未知量 取结点B的转角和竖向位移 为基本未知量。,（1）半边结构,（
12、3）固端力,基本体系,半边结构,（4）求杆端力,杆AB,杆BC,杆BD,（5）列位移法方程,考虑B点平衡,（5）最终杆端力,（7）作內力图,超静定结构当支座产生位移时，结构中一般会引起内力。用位移法计算时，基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用时一样，不同的只有固端力一项，例如由荷载作用产生的固端弯矩改变成由已知位移作用产生的“固端弯矩”。,*77 支座移动和温度改变时的计算,1 支座位移时的计算,例 7-5 作图示连续梁支座C下沉C时的弯矩图。,解,（1）基本未知量B,（2）求杆端弯矩,（3）列位移法方程,（4）最终杆端弯矩,温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。杆件内外温差使
13、杆件弯曲，产生固端弯矩。温度改变时杆件的轴向变形使结点产生已知位移，使杆端产生相对横向位移又产生另一部分“固端弯矩”。,例 7-6 排架由于 温度均匀升高 t 所产生的弯矩。,解,L为结点到对称轴距离,2 温度改变时的计算,例 7-7 作图示刚架由于 温度改变所产生的弯矩。各杆截面尺寸相同。,解,（1）半边结构,基本未知量B,（2）求杆端弯矩,各杆的相对横向位移：,各杆的轴向变形,各杆的固端弯矩,轴向温度变化引起的固端弯矩,两侧温度差产生固端弯矩,杆端弯矩,（3）列位移法方程,（4）最终杆端弯矩,（5）画弯矩图,7-8 小结,（1）取位移法基本体系（2）建立位移法方程（3）求系数和自由项（4）解方程（组）（5）叠加作弯矩图,（1）取基本未知量（2）列杆端弯矩计算式（3）建立位移法基本方程（4）解方程（组）（6）算杆端弯矩作弯矩图,三、对称性应用-取半边结构四、支座移动和温度变化-广义固端弯矩五、最少基本未知量与基本结构,一、形常数与载常数表（转角位移方程）二、直接平衡法与基本体系法步骤,
