第9章(自相关)ppt课件.ppt

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1、计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,第九章 自相关,9.1 自相关的含义及其表现形式 9.2 自相关的来源 9.3 忽视自相关的后果 9.4 自相关的检验 9.5 误差项一阶自相关的校正方法 9.6 误差项高阶自相关的校正方法 9.7 修正标准误的尼威韦斯特方法 9.8 ARCH模型 9.9 例子：我国货币需求函数的估计 9.10 广义最小二乘法校正自相关蒙特卡洛实验结果,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,前言,本章继续探讨违背经典假定的模型，在第三章所介绍的经典假定6要求随机误差没有自相关。但实际问题研究中，如果数据观

2、测值的顺序有一定含义，就有可能存在自相关。因而在时间序列数据中，自相关问题经常发生。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.1 自相关的含义及其表现形式,一、自相关的含义,图9.1.1：货币需求函数估计的残差图,自相关？,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,图9.1.1中的残差似乎隐含着这么一种规律：后一期残差与前一期残差有一种相关性。这正是随机误差项自相关的一种表现形式。自相关又称为序列相关，实际中，如果变量在时间或空间的顺序有一定含义，就有可能存在序列相关，特别是在时间序列数据的研究中，数据的观测值往往是按照时间的先

3、后自然排列，因此连续观测的时间序列数据就表现出内在的相关性。如：一年期存款基准利率、我国股票的上证综合指数或上证180指数,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,若误差项 的性质满足(9.1.2)式，就称误差项没有自相关(或序列相关)。,经典线性回归模型假定随机误差项()不相关是指对于回归模型：,(9.1.1),(9.1.2),当随机误差项存在自相关时，用符号表示就是：,(9.1.3),计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,二、自相关的表现形式,假定随机误差项的自相关形式如下：,(9.1.4),其中，为自相关系数或自回归系数。

4、为随机误差项，满足经典假定，且 与 不相关。上式表示随机误差项的一阶自相关,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,如果自相关系数=0，则=，无自相关，如图9.1.2,图9.1.2：无自相关序列,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,如果误差项的自相关系数 大于0，此时误差项正自相关，如图9.1.3,图9.1.3：正自相关序列,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,如果误差项的自相关系数 小于0，此时误差项负自相关，如图9.1.4,图9.1.4：负自相关序列,计量经济学，高教出版社，2011年6

5、月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,除了一阶自相关外，自相关还有许多其它形式。如：季度数据的模型中可能存在的基于季节的序列相关：滞后二期相关：类似地可构造更高阶的自相关，但通常 一阶自相关最为常见。,（9.1.5）,（9.1.6）,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.2 自相关的来源,为什么随机误差项会有自相关？原因种种，常见的有以下几种：一、惯性 如宏观经济上升时，国内生产总值等大多数经济变量一般会存在惯性地持续上升趋势，这类惯性常常使得随机误差项具有自相关。二、模型的函数形式设定不正确 在经验分析中，模型的正确函数形式总是未知的，若回归模型所采用的函

6、数形式与所研究问题的真实关系不一致，或者遗漏重要解释变量，随机误差项往往也会出现自相关。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,三、数据处理引起的自相关 估计回归模型时所使用的数据常常是公开发表的数据，这些数据往往是经过处理后的数据，如：季度数据往往由月度数据计算得来；通过所谓的“内插”或“外推”得到人口普查、卫生服务调查等数据；研究者为了需要对模型中的变量做差分变换。这些数据处理往往会引起随机误差项自相关。四、某些模型中的随机误差项的特性带来的自相关 回归模型中，随机误差项所包含的是随机因素对被解释变量影响的部分。有些随机因素对经济的影响可能会延续至随后的若

7、干期，这样就导致误差项具有自相关。如2003年的“非典”疫情对经济增长的影响。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.3 忽视自相关的后果,如果误差项存在自相关，模型参数的最小二乘估计量将不再是BLUE，对回归参数的假设检验也不再可靠，具体而言，直接使用普通最小二乘法通常会带来如下结果：一、回归系数的最小二乘估计量仍具有无偏性 对一元线性回归模型：,（9.3.1）,无自相关情况下，的估计量为：,（9.3.2）,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,如果有自相关，对 的估计量取期望：,（9.3.3）,可见，只要解释变量与随机

8、误差项不相关，最小二乘估计的回归系数就具有无偏性。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,存在一阶自相关，则 的方差为:,=,(9.3.5),二、估计的回归系数不再具有最小方差性 经典假定下，的方差为：,（9.3.4）,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,三、有可能低估误差项的方差,无自相关时,的方差的无偏估计量为：,即有：,但当误差项有一阶自相关时，可得到:,(9.3.8),一般，和 都是正数，则,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.4 自相关的检验,一、图示法 先观察 对 回归的残

9、差时序图：,图9.4.1：残差时间顺序图,正相关,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,进一步，以残差的滞后一期做为横轴，当期残差为纵轴描点得到图9.4.2：,图示法本质上还是一种经验判断，不能作为检验的最终依据。,图9.4.2：当期残差与滞后残差关系图,正的斜率,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,二、德宾沃森的DW自相关检验,该检验的前提条件：（1）回归模型含有截距项（2）解释变量是非随机的（3）随机误差项的自相关形式为一阶自相关（4）随机误差项被假定为正态分布（5）不能把滞后因变量作为解释变量放在模型中（6）统计数据比

10、较完整，没有缺失数据，样本容 量充分大,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,DW检验的基本原理和步骤：,（1）给出原假设：，备选假设：,（2）用残差构造DW检验统计量：,样本容量充分大的条件下，有：,代入(9.4.3)式，可得：,(9.4.2),(9.4.4),(9.4.5),计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,自相关系数 的取值范围为-1,1，则DW统计量的取值区间为0,4。,（1）若误差项没有自相关，则对应DW统计量值为2。若计算得到的DW值大约为2，则表明误差项没有自相关。（2）若，表明误差项有完全正自相关，对应DW

11、值等于0。因此，DW值越接近于0，正自相关的迹象越明显。（3）若，随机误差项具有完全的负自相关，对应DW等于4。因此，DW值越接近于4，负自相关的迹象越明显。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,DW统计量没有唯一的临界值帮助判断拒绝或不拒绝原假设，只有一个临界值的上限 和临界值下限。将计算得到的DW值和上下限进行比较，从而容易判断误差项是否存在自相关。不同样本容量和解释变量对应的 和 可在附表中查得。具体判别规则如图9.4.3：,图9.4.3 DW检验的判别规则,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,当在DW值落入不确定区

12、间时，也可采用修正的方法。给定显著性水平，具体检验方法是：（1），若,则在显著性水平 上拒绝，即误差项存在显著正自相关。（2），若4-，则在显著性水平 上拒绝，即误差项存在显著负自相关（3），若 或，则在显著性水平上拒绝，即存在显著自相关。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,三、布罗施戈弗雷检验(简称BG),对于回归模型：,(9.4.6),假设其误差项的自相关形式为：,(9.4.7),则没有自相关的原假设为：,备选假设：至少有一个 不为0。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,该检验过程如下：（1）使用OLS估计模型(9

13、.4.6)，得到残差记为。（2）将上述估计的残差 与残差滞后值 进行辅助回归，并计算辅助回归模型的可决系 数。（3）在大样本下，渐进地有：,对于给定显著性水平，若计算的 大于 的临界值，则拒绝原假设，认为至少有一个的值显著不为0，即存在自相关。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,四、博克斯皮尔斯的Q检验,根据OLS估计的残差构造Q统计量：,(9.4.12),其中，,残差无自相关的原假设下，由(9.4.12)式所定义的统计量渐进服从自由度为 的 分布。将计算的Q统计量值与临界值比较，从而接受或拒绝原假设。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继

14、生、欧阳志刚等编著,BG检验在应用过程中有几点需要注意：（1）若模型(9.4.6)中的解释变量不是严格外生 的，会有一个或多个 与 相关。（2）即使误差项服从 阶移动平均过程，BG检验 也适用。（3）确定滞后阶数的方法有二：一种是对辅助回 归模型中的回归系数进行显著性检验，将显 著不为0的系数保留在辅助回归中，另一种 是使用赤池或施瓦茨信息准则筛选滞后长 度。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.5 误差项一阶自相关的校正方法,自相关,纯粹自相关：广义最小二乘法(GLS),非纯粹自相关：改进模型的设定,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继

15、生、欧阳志刚等编著,一、广义最小二乘法(GLS),GLS的基本思想：将存在自相关的误差项转化为一 个满足经典假定的误差项，然后对转化后的模型进行OLS回归。设原始回归模型如下：,其中误差项具有一阶自相关形式：,将(9.5.2)代入(9.5.1)式，得到：,（9.5.1）,（9.5.2）,（9.5.3）,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,将模型(9.5.1)表述为 期表达式，并在两边同时乘以自相关系数：,（9.5.4）,将(9.5.3)减去(9.5.4)，得到：,（9.5.5）,令，（），则模型(9.5.5)可表述为：,（9.5.6）,变换后的模型(9.5.

16、6)称为广义差分模型，模型中的误差项()没有自相关并满足其余经典假定，因此，可以用OLS估计，从而得到最佳线性无偏估计。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,GLS模型和原始模型相比：（1）斜率系数相同，截距项不同：（2）被解释变量不同，GLS模型的(或)不能直接和原始模型OLS的(或)进 行比较。（3）GLS模型损失了第一个样本观测值。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,二、一阶自相关系数的估计,使用GLS校正自相关的前提是误差项的自相关系数已知，事实上很少能够知道自相关系数，常用的估计方法有：1、通过DW统计量估计2

17、、Durbin两步法（1）假定原始模型为：误差项一阶自相关：进行广义差分变换得到：,（9.5.7）,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,对模型(9.5.7)进行移项后：令，从而得到：对模型(9.5.9)进行OLS估计得到 的估计值。再用估计 的对原始模型进行广义最小二乘估计。3、从残差中估计 将残差 对其滞后项进行回归，如：注：不需加入截距项,（9.5.8）,（9.5.9）,（9.5.10）,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,4、科克伦奥克特(Cochrane-Orcutt)迭代估计(1)利用OLS估计原始模型，得到估计

18、的残差(2)根据估计的残差，计算第一次 的估计值(3)利用估计的 值对模型进行广义的差分变换，并估计广义模型，得到第二次估计的残差 和 第二次对 的估计值，计算公式与同。(4)重复(2)、(3)两步，直至的前后两次估计结果 比较接近为止，即 注：该方法也适合于高阶自相关,（9.5.11）,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.6误差项高阶自相关的校正方法,本节以误差项二阶自相关为例，分析高阶自相关及其校正，假定原始模型仍为（9.5.1）：误差项为二阶自相关：使用广义差分法，对模型（9.5.1）变换得到：,如果已知 和，则可直接对上式进行估计。如果 和 未知

19、，可通过原始模型的残差项自回归得到。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.7 修正标准误的尼威韦斯特方法,该方法的核心是使用非参数的方法估计标准误，直接对误差项有自相关的回归模型使用OLS，从而避免了确定滞后阶数和估计自回归系数，但却可以提高标准误的估计精度。对多元线性回归模型：直接用OLS对其估计得到的回归系数的标准误是不精确的，尼威韦斯特方法可对其估计的 进行校正，具体步骤如下：,(9.7.1),计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,(1)用 对其余解释变量做回归：(2)对某个选定的整数,定义：其中,N为样本数量。g

20、的选择依赖于误差项自相关的性质，自相关阶数越高g取值越大。Newey和West(1987)建议选择：令 表示用OLS估计模型(9.7.1)得到的 的标准误，为用OLS估计模型(9.7.1)得到的误差项 的标准误，则 的校正标准误就是：,(9.7.2),(9.7.3),(9.7.4),计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,例子：利率期限结构的尼威韦斯特标准误,为长期利率，以我国商业银行90天同业拆借利率的月度加权平均值表示，为短期利率，以商业银行7天同业拆借利率的月度加权平均值表示，为了便于比较，先直接用OLS估计的结果如下。,计量经济学，高教出版社，2011年

21、6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,使用尼威韦斯特的计算程序，对上述回归方程再次进行估计，结果如下：,与前面结果比较,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.8 ARCH模型,很多时间序列模型中，随机误差项同时具有自相关和异方差。如上市公司深发展(股票代码：000001)的2006年1月份至2009年9月每日的收盘价格如图9.8.1所示：,图9.8.1：深发展(000001)日收盘价趋势图,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,针对时间序列数据的上述特征，Engle(1982)提出了自回归条件异方差模型，即ARCH模(au

22、toregressive conditional heteroskedasticity）。,若一个随机变量 可以表示为AR(p)形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q 阶分布滞后模型描述：,(9.8.1),(9.8.2),则称 服从q阶的ARCH过程，其中(9.8.1)式称作均值方程，(9.8.2)式称作ARCH方程。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,一种简单的实现对模型(9.8.2)的估计方法就是设定如下线性回归模型：,(9.8.3),为表述方便，可认为像(9.8.3)式这样表述的误差项方差来自于如下定义的扰动：,(9.8.4),计量经济学，高教出

23、版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,为了保证 的条件方差始终为正数，我们需要假设，都是正数，此外，为保证自回归过程的平稳性，还必须同时假定。,(9.8.5),最简单的是ARCH（1）模型，即，由于，所以基于历史数据，的条件方差可表述为：,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,对于类似(9.8.3)式的ARCH()模型，其检验过程如下：（1）用OLS对原始模型做回归，得到残差序列。（2）构建模型：并用OLS回归。（3）如果这些系数都显著的异于零，则条件同方 差误差的假定被拒绝，接受ARCH()扰动项。可使用F检验或LM检验，检验估计的 的联合显

24、著性。LM检验统计量是，该统计量渐近服从分布，自由度 为步骤(2)中回归模型的滞后阶。如果计算的 大于对应的临界值，说明误差项有ARCH()效应。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,Bollerslev(1986)扩展了上述Engle(1982)的ARCH 模型，引入一种允许条件方差转化为一个ARMA过 程的方法，被称为GARCH(q,j)模型，其误差项条 件方差为：从上式可见，条件方差 不仅取决于其q 阶自回归，而且依赖于j 阶移动平均过程。如果上式中 都为零，则GARCH(q,j)模型就等同于一个ARCH(q)模型。,(9.8.6),计量经济学，高教出

25、版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,例子：我国商业银行7天同业拆借利率的月度平均值（2002年4月2009年8月）,图9.8.2：商业银行同业拆借利率,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,通过对滞后阶数的选择，估计了如下自回归模型：,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,对残差进行ARCH效应检验得到如下结果：,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,9.9 例子：我国货币需求函数的估计,根据相关经济理论，影响实际货币需求的主要因素为:居民的实际收入和持有货币的收益及成本。以

26、GDP表示居民的收入，以一年期存款基准利率(R)表示持有货币的成本，以准货币(M1)表示货币余额。用消费者物价指数(CPI,1978=100)将GDP和M1换算成实际数据，然后取自然对数，分别记为 和，并同时对利率取自然对数，记为。进行OLS回归得到：,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,实际货币需求（lnM1）对居民收入（lnGDP）和货币持有成本（lnR）的回归如下：,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,DW统计量为0.629，小于临界值，表明误差项存在正自相关。观察残差图：,图9.9.1：回归残差图,计量经济学，高教

27、出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,为检验残差自相关形式，使用布罗施戈弗雷检验，首先选择滞后阶数，结果如下：,BG检验统计量=8.08,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,检验结果表明存在一阶自相关，为使用广义最小二乘法校正误差项自相关，先估计自相关数，DW统计量可以计算得到的估计值约为0.685，用残差的回归来估计结果如下：,得到自相关系数为0.7000，且显著,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,令：,对变换后的数据使用OLS估计，结果如下：,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、

28、欧阳志刚等编著,9.10 广义最小二乘法校正自相关 蒙特卡洛实验结果,前述分析表明，当误差项存在自相关时，OLS估计的回归系数不具有最小方差性，为检验这一结果，我们使用一个简单的蒙特卡洛实验的结果进行说明，步骤如下：(1)设定总体参数值，。(2)选定样本容量。(3)从1,5的均匀分布中，独立地随机抽取100个 解释变量。(4)从独立的标准正态分布中，随机抽取100样 本，记为。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,(5)给随机误差项 的初始值赋值为0.5，并设定 自相关系数，进而基于生成随机误差项 的100个观测值：。(6)生成被解释变量100个观测值。(7

29、)使用OLS和GLS分别对生成的 与 做回归，记 估计的回归系数为 和。(8)重复步骤(3)(7)共5000次，共得5000个估计 的 和，把这些估计的回归系数描 成散图。,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,图9.10.1：OLS估计结果,图9.10.2：GLS估计结果,均值：,波动范围：0.024,1.014 0.261,0.791,计量经济学，高教出版社，2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著,本章小结,1、自相关的含义、表现形式及其来源2、忽视自相关的后果3、自相关的检验：图示法、DW检验法、BG检验法、博克斯皮尔斯Q检验法。4、误差自相关的修正方法：广义最小二乘法、尼威韦斯特方法 5、自相关系数的估计方法：DW统计量、Durbin两步法、从残差中估计、科克伦奥克特的迭代估计法。ARCH模型及其检验,