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1、第9章 传递函数矩阵的结构特性,第9章 传递函数矩阵的结构特性,传递函数矩阵的结构特性是复频域分析和综合的基础极点和零点的分布属性 决定系统的稳定性和运动行为极点和零点的不平衡属性 反映系统的奇异特性和奇异程度重点掌握的内容Smith-McMillan型极点和零点结构指数,9.1 史密斯-麦克米伦形,定义,当且仅当秩为r的qp有理分式矩阵M(s)具有如下形式：,其中，i(s),i(s)为互质，i=1,2,r；满足整除性i+1(s)|i(s)和i(s)|i+1(s)，i=1,2,r-1,Smith-McMillan型构造原理,对于qp有理分式矩阵G(s)，设 r=Rank G(s)minq,p则
2、必存在qq和pp单模阵U(s)、V(s)，使得变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为Smith-McMillan型,例：导出下列22严格真有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型,解：首先定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子多项式矩阵N(s)，有,进而，取单模阵对U(s)、V(s)，,本例得到的Smith-McMillan型M(s)不再保持为严格真,化N(s)为Smith型,(1)Smith-McMillan型M(s)的惟一性 有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)为惟一。,(4)非奇异G(s)的属性 对qq非奇异有理分式矩阵G(s)，下
3、列等式成立：,其中，为非零常数。,(3)Smith-McMillan型M(s)的非保真性 严真性有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)不保持严真性，M(s)甚至可能为非真性。注：导致M(s)非保真性的原因是，单模变换阵对U(s)，V(s)的引入，可能会在M(s)中附加引入乘子sk，k=1,2,。如前例7-5。,(2)将G(s)化成M(s)的单模阵对U(s)，V(s)不惟一性 化有理分式矩阵G(s)为Smith-McMillan型M(s)的单模阵对U(s)，V(s)不惟一。,Smith-McMillan型的基本特性,(5)M(s)的MFD表示：对秩为r的qp传递函数矩阵G(
4、s)，其Smith-McMillan型M(s)为,则可将M(s)表示为右MFD，M(s)=Er(s)r-1(s),如若引入,(5)M(s)的MFD表示：对秩为r的qp传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为,则可将M(s)表示为左MFD，M(s)=l-1(s)El(s),(6)G(s)基于Smith-McMillan型M(s)的不可简约MFD：对qp传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型为M(s)，单模变换阵对为U(s)，V(s)，M(s)的右MFD和左MFD为 M(s)=Er(s)r-1(s)和 M(s)=l-1(s)El(s)若取 Nr(s)=U-1
5、(s)Er(s)，Dr(s)=V(s)r(s)则Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的不可简约右MFD。若取 Nl(s)=El(s)V-1(s)，Dl(s)=l(s)U(s)则Dl-1(s)Nl(s)为G(s)的不可简约左MFD。,9.2 传递函数矩阵的有限极点和有限零点,MIMO线性时不变系统的极点、零点有限极点零点无穷远处极点零点,考虑qp传递函数矩阵G(s)，r=Rank G(s)minq,p，导出其Smith-McMillan型为M(s)为,传递函数矩阵的有限极点和有限零点,对秩为r的qp传递函数矩阵G(s)，Smith-McMillan型M(s)有 G(s)有限极点=“M(s)中 i(
6、s)=0 根，i=1,2,r”G(s)有限零点=“M(s)中 i(s)=0 根，i=1,2,r”,解：G(s)的Smith-McMillan型M(s)为,例：求22传递函数矩阵G(s)的有限极点和有限零点,G(s)有限极点,G(s)有限零点,s=-1(二重)，s=-2(三重),s=0(三重),说明,适用性 只适用于传递函数矩阵G(s)在有限复数平面上的极、零点 不适用于G(s)在无穷远处的极、零点(2)G(s)极点、零点分布的特点 与SISO线性定常系统的标量传递函数g(s)不同 MIMO线性定常系统的传递函数矩阵G(s)的极点、零点可位于复平面上的同一位置上而不构成对消。,对qp传递函数矩阵
7、G(s)，设 r=Rank G(s)minq,p 表Nr(s)Dr-1(s)和Dl-1(s)Nl(s)为G(s)任一不可简约右MFD和任一不可简约左MFD，则 G(s)有限极点=“detDr(s)=0 根”或“detDl(s)=0 根”G(s)有限零点=“Rank Nr(s)r 的s值”或“Rank Nl(s)r 的s值”,极点零点的推论性定义1,例：求出传递函数矩阵G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，Rank G(s)=2的有限极、零点,解：,Dr(s),Nr(s)为右互质,Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的一个不可简约右MFD,G(s)有限极点,G(s)有限零点,detDr(s)=s3(
8、-s+1)=0 根,s=0(三重)，s=1,Rank Nr(s)2 的s值,s=0，s=-1,极点零点的推论性定义2,对qp严格真传递函数矩阵G(s)，设其外部等价的任一状态空间描述为A nn,B nn,C nn，A，B完全可控，A，C完全可观测，则有,G(s)有限极点=“det(sI-A)=0 根”,G(s)有限零点=使 降秩的s值,对qp严格真传递函数矩阵G(s)，表其所属线性时不变系统的一个可控和可观测状态空间描述为A，B，C，z0为G(s)的任一零点，则对满足关系式：,的所有非零初始状态x0和所有非零常向量u0，系统输出对形如,的一类输入向量函数具有阻塞作用，即其所引起的系统强制输出y
9、(t)0。,对零点的直观解释,极点决定系统输出运动组成分量的模式零点反映系统对与零点关联的一类输入函数具有阻塞性,9.3 传递函数矩阵的结构指数,结构指数的定义,对qp传递函数矩阵G(s)，r=Rank G(s)minq,p，表 Spz=G(s)的有限极点和有限零点的集合 那么，若对任一k Spz导出对应的rr对角阵：,则称1(k),r(k)为G(s)在 s=k 的一组结构指数。,例：求传递函数矩阵G(s)在各个极点零点处的结构指数,解：r=Rank G(s)=2，G(s)的Smith-McMillan型为,G(s)极点和零点集合 Spz=-2，-1，0进而，直接由Smith-McMillan
10、型M(s)，即可定出G(s)在“s=-2”结构指数 1(-2)，2(-2)=-2，-1G(s)在“s=-1”结构指数 1(-1)，2(-1)=-2，0G(s)在“s=0”结构指数 1(0)，2(0)=1，2,对结构指数的讨论,给定G(s)在 s=k 的结构指数组1(k),r(k)，对i(k)，有i(k)=正整数 G(s)在 s=k 有i(k)个零点 i(k)=负整数 G(s)在 s=k 有|i(k)|个极点 i(k)=零 G(s)在 s=k 无极点和零点,给定G(s)在 s=k 的结构指数组1(k),r(k)，则有 G(s)在“s=k”极点重数=1(k),r(k)中负指数之和的 绝对值 G(s)在“s=k”零点重数=1(k),r(k)中正指数之和,传递函数矩阵G(s)在非极点零点处的结构指数必恒为0。即，给定G(s)，若 Spz为任意有限值，则有 i()=0，i=1,2,r,基于结构指数的Smith-McMillan型表达式,对qp传递函数矩阵G(s)，设 r=Rank G(s)minq,p，表 G(s)极点零点集合 Spz=1，2，n G(s)在 s=k 的结构指数组1(k),r(k),Smith-McMillan型M(s)为,一旦定出G(s)的各个极点零点及结构指数组，就可定出G(s)的Smith-McMillan型M(s),
