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1、第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数,1.角的有关概念,射线,旋转,象限角,正角,负角,零角,+k360o,kZ,2.弧度的定义和公式(1)定义:在以单位长为半径的圆中,_的弧所对的圆心角为1弧度的角,它的单位符号是_，读作_.,单位长度,rad,弧度,r|,（2）公式：,3.任意角的三角函数（1）定义：在平面直角坐标系中，设角的终边与单位圆交于点P(u,v)，则sin=_，cos=_，tan=.(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).,v,u,如图中有
2、向线段MP，OM，AT分别叫做角的_，角的_和角的_.,正弦线,余弦线,正切线,4.特殊角的三角函数值,0,1,0,1,0,0,-1,1,0,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）小于90的角是锐角.()（2）锐角是第一象限角，反之亦然.()（3）与45角终边相同的角可表示为k360+45，kZ或2k+45，kZ.()（4）将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60.()（5）终边相同的角的同一三角函数值相等.()（6）点P（tan，cos）在第三象限，则角终边在第二象限.(),【解析】（1）错误.负角小于90但它不是锐角.（2）错误.第一象限角不一定是锐角，如-350是第一象
3、限角，但它不是锐角.（3）错误.不能表示成2k+45,kZ，即角度和弧度不能混用.（4）错误.拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60.（5）正确.由诱导公式（一）可知或由三角函数的定义可得.,(6)正确.由已知得tan 0，cos 0，所以为第二象限角.答案：（1）（2）（3）（4）(5)(6),1.终边落在第二象限的角可表示为()(A)|90+2k180+2k，kZ(B)|+2k+2k，kZ(C)|90+k180180+k180，kZ(D)|+k+k，kZ【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时不成立，故选B.,2.已知sin 0，tan 0，那么角是()(A)第一象限
4、角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【解析】选C.由sin 0，则的终边在三、四象限，或y轴负半轴.由tan 0，则的终边在一、三象限，故是第三象限角.,3.已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()(A)2(B)4(C)6(D)8【解析】选C.设扇形的弧长为l，半径为r,圆心角为，则 解得r=1,故l=|r=41=4,所以扇形周长为2r+l=21+4=6.,4.已知角终边上一点A(2,2)，则tan=_.【解析】答案：1,考向 1 终边相同的角的表示【典例1】（1）若是第三象限的角，则-是()(A)第一或第二象限的角(B)第一或第三象限的角(C)第二
5、或第三象限的角(D)第二或第四象限的角（2）已知角是第一象限角，确定2，的终边所在的象限位置.,【思路点拨】(1)由为第三象限角求得-的范围，通过对k的奇偶性讨论可得解.(2)由所在的象限写出角的范围，从而得2,的范围，最后确定终边所在的位置.【规范解答】(1)选B.由得故当k为偶数时-在第一象限，当k取奇数时-在第三象限，故选B.,(2)是第一象限角，k42k4+,kZ,即2k222k2+,kZ,2的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.当k=2n(nZ)时,的终边在第一象限.,当k=2n+1(nZ)时,即 的终边在第三象限.综上可得 的终边在第一象限或第三象限.,【拓展提升】强化对终
6、边相同角的表示与应用(1)所有与的终边相同的角都可表示为=+k360,kZ的形式.(2)根据与终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角；也可以根据的终边所在的象限,判断的倍数角所在的象限或范围.(3)与终边相同的角的表达式中一定是k360或k2，两种单位不能混用.,【变式训练】若角与的终边在一条直线上，则与的关系是_.【解析】当，的终边重合时，=+k2,kZ.当，的终边互为反向延长线时，=+k2=+(2k+1),kZ.答案：=+k2，kZ或=+(2k+1),kZ,考向 2 弧度制的应用【典例2】（1）已知扇形OAB的圆心角为120，半径r=6，求 的长及扇形面积.（2）已知扇形周长为20，
7、当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？【思路点拨】（1）将圆心角化为弧度，再利用弧度制下的弧长、面积公式求解.（2）利用扇形周长得半径与弧长的关系，将面积化为关于半径r的二次函数后求最值.,【规范解答】(1)(2)由已知得l+2r=20，=10r-r2=-（r-5）2+25，所以r=5时，面积有最大值，且Smax=25,此时l=10，所以即当圆心角为2弧度时，面积有最大值25.,【互动探究】本例题（1）中若求扇形的弧所在的弓形面积，又将如何求解？【解析】由题（1）解析得故弓形的面积为,【拓展提升】弧度制应用的关注点（1）弧度制下，弧长l=|r，扇形面积 此时为弧度.在角度制下，
8、弧长 扇形面积 此时n为角度.（2）在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形进行求解.,【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦|AB|的长为10.(1)求弦|AB|所对的圆心角的大小.(2)求角所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.,【解析】(1)由O的半径r=10=|AB|，知AOB是等边三角形，(2)由(1)可知弧长l而,考向 3 三角函数的定义【典例3】（1）（2013安庆模拟）已知函数y=loga(x-1)+3(a0且a1)的图像恒过点P，若角的终边经过点P，则sin2-2sin cos 的值等于()(A)(B)(C)(D)（2）已知角的终边上一点P（，m），m
9、0,且 求cos,tan 的值.,【思路点拨】（1）先确定点P的坐标，然后利用定义求出sin,cos 即可.（2）先由 并结合三角函数的定义建立关于参数m的方程，求出m的值，再根据定义求cos，tan.,【规范解答】(1)选C.由题意知点P坐标为（2，3），故 所以因此(2)由题设知r2=|OP|2=（-）2+m2（O为原点），从而,于是3+m2=8，解得当 时，当 时，,【互动探究】将本例题（2）中 改为 如何求sin，cos？【解析】由已知得，又 得m=-1，,【拓展提升】1.三角函数定义的推广在直角坐标系xOy中，设P(x,y)是角终边上任意一点，且点P到原点O的距离|PO|r，则2.定
10、义法求三角函数值的两种情况（1）已知角终边上一点P的坐标时，可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义的推广求解.（2）已知角的终边所在的直线方程时，可分两种情况先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用,三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.,【变式备选】已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan 的值.,【解析】角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,当t0时，r=5t,当t0时，综上或,【易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论致误【典例】（201
11、3天津模拟）已知角的终边上一点P（3a，4a）（a0）,则sin=_.【误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，即没有对a的取值进行分类讨论，而求出r=5a，从而导致结果错误.,【规范解答】x=3a,y=4a,(1)当a0时，r=5a，(2)当a0时，r=-5a，答案：,【思考点评】1.任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角的终边经过点P（x，y），从而|OP|=r=则sin=2.分类讨论思想的应用对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论解题.在分类讨论时要对参数的所有情况逐类讨论，最后要进行
12、归纳总结.,1.(2013铜川模拟)如果点P(sincos,2cos)位于第三象限,那么角的终边所在象限是()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选B.由点P在第三象限知 所以故角的终边在第二象限.,2.(2013汉中模拟）已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()(A)2(B)(C)2sin 1(D)sin 2【解析】选B.过圆心作弦的垂线l，设半径为r,则 故 所以弧长l,3.(2013吉安模拟）P（3，y)为终边上一点，则tan=()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由题意知 解得y=4.当y=4时，当y=-4时，故选D.,4.（
13、2013南昌模拟）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角终边上一点，且则y=_.【解析】由P（4，y）是角终边上一点，且 可知y0，根据任意角的三角函数的定义得 化简得y2=64，解得y=-8.答案：-8,1.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为大正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为，那么sin2-cos2的值为()(A)1(B)(C)(D),【解析】选D.依题意设直角三角形中较小的直角边长为x,较大的直角边长为y,则解得：故选D.,2.直角三角形POB中，PBO=90，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于A点，若弧AB等分三角形POB的面积，且AOB=rad，则()(A)tan=(B)tan=2(C)sin=2cos(D)2sin=cos,【解析】选B.设扇形的半径为r,则扇形的面积为 直角三角形POB中，|PB|=rtan,POB的面积为 由题意得tan=2，故选B.,
