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1、第九章 球坐标系下的分离变量 球函数,本章内容概要：,9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量 给出该亥姆霍兹方程分离变量的解,9.2 9.3(缔合)勒让德函数、球函数的性质,母函数、递推公式、正交归一性关系、,前几阶的勒让德多项式,球坐标系下分离变量法的应用：见本章6道例题,令：,代入得:,9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量,一.亥姆霍兹方程的引入,分离变量得:,:亥姆霍兹方程,对三维波动方程,为使 t 时,T(t)有限,取,Tips:k=0时，取T(t)Constant 位势方程,二.球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量,1.径向坐标 r 和角向坐标 的分离变量,令,代入Helmho
2、lhz方程：,方程两边同时乘以，整理得:,=0,即：,2.角向坐标 q 和 j 的分离变量,令,代入角向方程：,方程两边同时乘以，整理得,即：,3.的本征问题求解,（自然周期条件）,本征值：本征函数：,或,本征值：本征函数：,4.的本征问题求解,有限值,（自然边界条件）,令 x=cosq，则 dx=-sinq dq,此即 l 阶勒让德方程,满足 有限的本征解为：,本征值：本征函数：,m=0,的方程变为：,此时 为常数即，绕 z 轴对称,m 0 时,令,方程变为：,为求方程的解,考虑勒让德多项式满足的方程：,对 x 求 m 次导：,整理,得：,比较上式与(*)式，知本征解为：,记 为缔合勒让德函
3、数,由勒让德函数的微分表达式,得：,注意到 为 l 阶多项式,使,则,从 的微分表达式，也可看出,若先选定 m，则,若先选定 l，则,或,本征值：本征函数：,或者：,附注：(缔合)勒让德函数的正交归一关系：,或者：,范数:,范数:,详细证明见下节,5.总结：角向函数 的本征问题,本征值：,本征函数：,本征值：,或者：,本征函数：,为有限值,(自然周期边界条件)(有界条件),例:量子力学中,定义角动量平方算符 为,则：,即：算符 有分立的本征值：,称为球谐函数。球谐函数具有正交性。,因此，函数，可在球坐标系展开为：,k=0 时，径向方程为欧拉方程:,令，得其解为：,k 0 时，方程称为 l 阶球
4、贝塞尔方程：,此时,令,径向方程：,根据前面的讨论，l 为自然数，即,6.径向函数 的求解,此时Helmholhz方程变为Laplace方程.,根据对贝塞尔方程的讨论，方程通解为：,通常令,分别称为 l 阶球贝塞尔函数和 l 阶球诺依曼函数。,则 l 阶球贝塞尔方程的通解为：,方程化为：,l 为整数，则方程为半奇数阶贝塞尔方程,7.总结：球坐标系下Helmholhz方程的通解形式,k=0 时,Helmholhz方程即为Laplace方程(位势方程),k 0 时,或者：,若讨论的问题具有旋转对称性，则 m=0,此时,k2(本征值)可由径向(r)的边界条件给出.(例9.3),方程,一般情形m0,绕
5、极轴旋转对称(m=0),球对称(m=0且 l=0),Helmholtz方程,Laplace(位势)方程,球坐标系下 方程的通解,9.2 球函数 9.3(缔合)勒让德多项式,一.勒让德多项式的母函数(生成函数),在单位球的北极,置电荷量为 的正电荷.,球内 M 点与 N 点距离为：,N,则,M 点电势为：,u(M)也可由拉普拉斯方程通过分离变量法求出。,此问题关于 z 轴对称;且 球内电势有限.,令,则因,有：,又，,由9.1的讨论知，此问题通解为：,因此,称为勒让德多项式的母函数,同理得：,因此，勒让德函数是函数 在 r=0处的泰勒/洛朗展开的系数.,比较 r 的 l 次幂的系数:,二.勒让德
6、多项式的递推公式,由母函数公式,两边对 r 求导，得,整理，得递推公式：,三.勒让德多项式的正交归一关系,(缔合)勒让德方程是Sturm-Liouville方程的一例,因此(缔合)勒让德多项式在-1,1 上正交。,下面由勒让德方程证明正交归一关系。,或者：,，并在-1,1积分得,作分部积分，相减结果为零,又 k l，故,1.正交性,2.归一关系,上式两边平方，并在-1,1积分,由正交性得：,将方程左边也展开为 r 的级数表达式：,比较 的系数得:,母函数关系:,由勒让德多项式的正交归一关系,可将在区间-1,1上的函数 f(x)用勒让德多项式展开。,四.缔合勒让德函数,1.缔合勒让德函数的引入,
7、在9.1讨论中,通过对勒让德方程微分 m 次，验证了缔合勒让德方程的解，即缔合勒让德函数。,2.缔合勒让德函数的递推公式,证明方法：由勒让德多项式的递推公式求m 次导，并利用勒让德函数的母函数公式。详见课本 Page 167-168 的证明。,缔合勒让德函数有其他递推公式，可参考：王竹溪特殊函数概论,刘式达、刘式适特殊函数.,同 m,不同 l 的递推公式：,例如：同 l，不同 m 的递推公式,3.缔合勒让德函数的正交归一关系,证明：令,将 代入，并分部积分,(此项为0),(分部积分),(作微分运算),放大,根据同 l 不同 m 的递推公式,将该式递推 m 次：,上式中用到 勒让德多项式正交归一
8、关系,得证！,4.负指标的缔合勒让德函数,在亥姆霍兹方程方程的通解中，用到,不能由 定义,考虑利用微分表达式定义.,则：,并且可证：,Eg.前几阶的勒让德函数,Question:l 阶缔合勒让德函数，x 的次数是多少？,或者：(复数形式),是Helmholtz方程在自然周期条件+边界值有限条件下的角向本征函数.,五.球谐函数,球谐函数满足的方程为：,球谐函数为(实函数形式)：,l 阶独立的球函数共 2l+1 个,由缔合勒让德函数的正交归一关系：,以及j方向本征函数系 的正交归一关系：,得复数形式球谐函数的正交归一关系：,其中 为 的复数共轭，即：,球谐函数的递推公式,可由 递推公式推导 的递推
9、公式,本节主要结论：,一.勒让德函数的母函数公式,二.勒让德函数的递推公式,三.勒让德函数的正交归一关系,四.缔合勒让德函数,1.定义：,2.缔合勒让德函数的递推公式(了解),同 m,不同 l 的递推公式：,同 l，不同 m 的递推公式,3.缔合勒让德函数的正交归一关系(重要),4.时的缔合勒让德函数(了解),或复数形式：,五.球谐函数,l 阶独立的球函数共2l+1个,复数形式的球谐函数的正交归一关系：,球谐函数的递推公式(了解),例9.2 一半径为a 的空心球,若在其表面一半充电到电势 u0,另一半电势为0,求球内外电势分布。,解：球内,球外,习题9.1 第2题 匀强电场中放置一接地导体球，
10、球的半径为a，求球外的电势。,例9.3 均质球，半径为r0,初始温度分布为f(r),球表面温度保持为0，使它冷却。求温度分布.,解：球内，,一.亥姆霍兹方程的引入,二.球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量,1.径向坐标 r 和角向坐标 的分离变量,2.角向坐标和 j 的分离变量,3.的本征问题求解,4.的本征问题求解,5.总结：角向函数 的本征问题,6.径向函数 的求解,7.总结：球坐标系下Helmholhz方程的通解形式,9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量,9.3 勒让德多项式的母函数,正交性和递推公式,一.勒让德多项式的母函数（生成函数）,二.勒让德多项式的递推公式,三.勒让德多项式的
11、正交归一关系,四.缔合勒让德函数,1.缔合勒让德方程,2.缔合勒让德函数的递推公式,3.缔合勒让德函数的正交归一关系,4.时的缔合勒让德函数,五.球谐函数,本章考试范围：,体系具有旋转对称性时，m=0,1.熟悉Helmholhz方程在球坐标下的通解:,k=0 时,Helmholhz方程即为Laplace方程,k 0 时(不要求能解具体问题),m=0时,3.熟悉缔合勒让德函数、球谐函数正交归一关系。,附注：Laplace方程在平面极坐标系的通解形式：,2.缔合勒让德函数,勒让德多项式的母函数；,5.本章其他内容：,三维波动方程，分离变量得亥姆霍兹方程；,亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量；,由勒让德多项式的母函数推导递推关系；,由勒让德多项式的母函数推导正交归一关系；,4.会应用勒让德多项式正交归一关系,完 成广义傅里叶展开(即正交函数系展开)。,角向坐标方程的本征问题；,能完成推导,
