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1、第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应,2.3 卷积积分,点击目录，进入相关章节,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.4 卷积积分的性质,返回,目 录,解:(1)特征方程为2+5+6=0 其特征根1=2，2=3。齐次解为 yh(t)=C1e 2t+C2e 3t由表2-2可知，当f(t)=2e t时，其特解可设为 yp(t)=Pe t将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得 P=1于是特解为 yp(t)=e t全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=
2、2，y(0)=2C1 3C2 1=1 解得 C1=3，C2=2 最后得全解 y(t)=3e 2t 2e 3t+e t,t0,2.1 LTI连续系统的响应,例：描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。,（2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为 yp(t)=(P1t+P0)e2t 代入微分方程可得 P1e-2t=e2t 所以 P1=1 但P0不能求得。全解为 y(t)=C1e2t+C2
3、e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入，得 y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得 C1+P0=2,C2=1 最后得微分方程的全解为 y(t)=2e2t e3t+te2t,t0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,2.1 LTI连续系统的响应,二、关于0-和0+初始值,若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值或初始条件，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统
4、的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关，称这些值为初始状态或起始值。通常，对于具体的系统，初始状态y(j)(0-)一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。,2.1 LTI连续系统的响应,例：描述某系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）利用系数匹配
5、法分析：上式在t=0-也成立，在0-t0+区间等号两端(t)项的系数应相等。由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t=0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。但y(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有(t)项。由于y(t)含阶跃函数，故y(t)在t=0处是连续的。故 y(0+)=y(0-)=2,2.1 LTI连续系统的响应,解：,对式(1)两端积分有,由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且y(t)在t=0连续，故,于是由上式得 y(0+)y(0-)+3y(0+)y(0-)=2考虑 y(0+)=y(0-)=2，所以 y(0+)y(0-)=2，y(0+)=y(0-)
6、+2=2,2.1 LTI连续系统的响应,认真研读课本44页例2.1-3。,三、零输入响应和零状态响应,2.1 LTI连续系统的响应,通常我们研究的是线性连续因果时不变系统。,其全响应解为：,用经典法求解零输入响应和零状态响应时，需用响应及其各阶导数的初始值，用以确定系数Czii和Czsi。,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值yzi(j)(0+),yzs(j)(0+)(j=0，1，2，n-1)的计算：,初始值计算方法：,0+时刻：,
7、0-时刻：,对于零输入响应，由于激励为零，且为因果线性时不变系统，内部参数不随时间而变，故有：,对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有：,的求法下面举例说明。,例：描述某系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。,解：（1）零输入响应yzi(t)激励为0，故yzi(t)满足 yzi”(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0 yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2 yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=0该齐次方程的特征根为1，2，故 yzi(t)
8、=Czi1e t+Czi2e 2t 代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=2，代入得 yzi(t)=4e t 2e 2t,t 0,2.1 LTI连续系统的响应,（2）零状态响应yzs(t)满足 yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)并有 yzs(0-)=yzs(0-)=0（因激励f(t)还未加入）由于上式等号右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，从而yzs(t)在t=0处有跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t=0连续，即yzs(0+)=yzs(0-)=0，积分得 yzs(0+)-yzs(0-)+3yzs(0+)-yzs(0-),因此
9、，yzs(0+)=2+yzs(0-)=2,对t0时，有 yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有 yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得 yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0,2.1 LTI连续系统的响应,例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。,根据h(t)的定义 有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。,解：,因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中
10、含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得 h(0+)-h(0-)+5h(0+)-h(0-)+6=1,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.2 冲激响应和阶跃响应,考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0,h(0+)=1+h(0-)=1对t0时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以 h(t)=(e-2t-e-3t)(t),h(0+)-h(0-)
11、+5h(0+)-h(0-)+6=1,一般，若n 阶微分方程的等号右端只含激励f(t)，即若：,则当f(t)=(t)时，其零状态响应（即冲击响应h(t)）满足方程：,可推得各0+初始值为：,如果上述微分方程特征根i均为单根，则其冲激响应为：,式中各常数Ci由0+初始值确定。,2.2 冲激响应和阶跃响应,为什么？,一般而言，若描述LTI系统的n阶微分方程为：,求解系统的冲激响应h(t)可分两步进行：,1、选新变量y1(t)，使他满足的微分方程为左端与上式相同，而右端只含f(t)，即y1(t)满足方程：,求出上式系统的冲激响应h1(t)。,2、根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性，可得该系统
12、的冲激响应：,2.2 冲激响应和阶跃响应,认真研读课本P54页例2.2-2。,例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。（认真研读课本P54页例2.2-2。）,解 根据h(t)的定义 有：h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含(t)故令 h(t)=a(t)+p1(t)pi(t)为不含(t)的某函数 h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)代入式(1)，
13、有,2.2 冲激响应和阶跃响应,a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),利用(t)系数匹配，得 a=1，b=-3，c=12所以 h(t)=(t)+p1(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)（4）,对式(3)从0-到0+积分得 h(0+)h(0-)=3对式(4)从0-到0+积分得 h(0+)h(0-
14、)=12故 h(0+)=3，h(0+)=12,2.2 冲激响应和阶跃响应,微分方程的特征根为 2，3。故系统的冲激响应为 h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件 h(0+)=3，h(0+)=12求得C1=3，C2=6,所以 h(t)=3e2t 6e3t,t 0结合式(2)得 h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t),对t0时，有 h”(t)+6h(t)+5h(t)=0,2.2 冲激响应和阶跃响应,二、阶跃响应,g(t)=T 0，(t),一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。,若n 阶微分方程的等号右端只含激励f(t)
15、，当激励f(t)=(t)时，系统的零状态响应（即阶跃响应g(t)）满足方程：,2.2 冲激响应和阶跃响应,由于等号右端只含(t)，故除g(n)(t)外，g(t)及其到（n-1）阶导数均连续，即有,如果上述微分方程特征根i均为单根，则其阶跃响应为：,式中 为方程的特解，各常数Ci由0+初始值确定。,由于(t)与(t)为微积分关系，即：,2.2 冲激响应和阶跃响应,根据LTI系统的微积分特性，同一系统的阶跃响应与冲击响应的关系为：,3.卷积积分的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分,为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)=f1(t)*f2(
16、t)注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。,2.3 卷积积分,例：f(t)=e t（-t)，h(t)=(6e-2t 1)(t)，求yf(t)。,解：yf(t)=f(t)*h(t),当t t时，(t-)=0,2.3 卷积积分,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为得 f1()，f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()平移t f2(t-)，t0,沿坐标轴右移；t0,沿坐标轴左移。（3）乘积：f1()f2(t-)（4）积分：从 到对乘积项积分。注意：t为参变量。,2.3 卷积积分,例f(t),h(t)如图所示，求yf(t)=h(t)
17、*f(t)。,解 采用图形卷积。,f(t-),f()反折,f(-)平移t,t 0时,f(t-)向左移,f(t-)h()=0，故 yf(t)=0,0t 1 时,f(t-)向右移,1t 2时,3t 时,f(t-)h()=0，故 yf(t)=0,2t 3 时,0,2.3 卷积积分,图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。,例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？,f1(-),f1(2-),解：,（1）换元,（2）f1()得f1(),（3）f1()右移2得f1(2),（4）f1(2)乘f2(),（5）积分，得f
18、(2)=0（面积为0）,2.3 卷积积分,例：求K与f(t)的卷积积分。,解：,注意：如果套用 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0 显然是错误的。,2.4 卷积积分的性质,表明常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。,例2：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t),解：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t),f1(t)=(t)(t 2),f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2),解：,f1(t)=(t)(t 2),f1(t)*f2(t)=(t)*f2(t)(t 2
19、)*f2(t),(t)*f2(t)=f2(-1)(t),前例：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t),利用时移特性，有(t 2)*f2(t)=f2(-1)(t 2),f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2),2.4 卷积积分的性质,例：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t),解：f1(t)=2(t)2(t 1)f2(t)=(t+1)(t 1),f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)2(t)*(t 1)2(t 1)*(t+1)+2(t 1)*(t 1),由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t 1)(t 1)2 t(t)+2(t 2)(t 2),2.4 卷积积分的性质,
